ДЗИ

[Гост]

Даден е равнобедрен △ABC с ъгъл при основата равен на α и височина
към основата с 3 сm по-голяма от радиуса на вписаната в триъгълника
окръжност. Радиусът на вписаната в △ABC окръжност е равен на:

[Гост]

Синусова теоремат ли се използва тук?

[Евва]

16 зад. Да и отговорът е А)

[Nathi123]

зад.8 От чертежа и условието,получаваме че [tex]h=r+3; \frac{r+3}{\frac{c}{2}}=tg\alpha\Rightarrow r+3=\frac{c}{2}tg\alpha (1) ; \frac{r}{\frac{c}{2}}=tg\frac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow c=2rcotg\frac{\alpha}{2}[/tex] Заместваме в (1) и получаваме [tex]r+3=rcotg\frac{\alpha}{2}tg\alpha \Leftrightarrow -r\frac{1+tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1-tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=-3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow r=\frac{3(1-tg^{2}\frac{\alpha}{2})}{1+tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=3cos\alpha[/tex].

[Davids]

зад.8 От чертежа и условието,получаваме че [tex]h=r+3; \frac{r+3}{\frac{c}{2}}=tg\alpha\Rightarrow r+3=\frac{c}{2}tg\alpha (1) ; \frac{r}{\frac{c}{2}}=tg\frac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow c=2rcotg\frac{\alpha}{2}[/tex] Заместваме в (1) и получаваме [tex]r+3=rcotg\frac{\alpha}{2}tg\alpha \Leftrightarrow -r\frac{1+tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1-tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=-3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow r=\frac{3(1-tg^{2}\frac{\alpha}{2})}{1+tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=3cos\alpha[/tex].

Или просто при означения $CH \bot AB$, $r = OO_1 \bot AC$ взимаме $\triangle COO_1 \sim \triangle CAH \Rightarrow \angle COO_1 = \alpha$, при това и $CO = CH - OH = h - r = 3$, следователно от дефиницията за косинус имаме $cos\alpha = \frac{r}{3} \Rightarrow r = 3cos\alpha$