Триъгълник

[Гост]

В равнобедрения триъгълник ABC, [tex]\ACB[/tex]=135 градуса и лъчът CL(точката L е от AB), дели ACB в отношение 1:2. Отсечката CL e с дължина k. Изразете лицето на ABC чрез k

[Davids]

Ще означим за по-кратко $\angle ABC = \angle BAC = \alpha = 22^{\circ}30'$. Ще означим $BL = x$, тогава по синусова теорема от $\triangle BLC \Rightarrow x = \frac{k}{sin\alpha}$. Също от синусова теорема за $\triangle ALC \Rightarrow AL = sin45^{\circ}.\frac{k}{sin\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{2}x$.
Сега ще спуснем височината $CH = h, H \in BL$ и по определение за синус от $\triangle LHC$: $sin(90 - \alpha) = \frac{h}{k} \Rightarrow h = kcos\alpha$.

И така лицето на целия триъгълник е $S_{ABC} = \frac{AB.h}{2} = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)\frac{k}{sin\alpha}.kcos\alpha}{2} = \frac{1}{4}(2 + \sqrt{2})k^2cotg(22^{\circ}30') = \frac{1}{4}(2 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})k^2 = (1 + \frac{3\sqrt{2}}{4})k^2$

[Евва]

Ако използваме формулата [tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{a^{2}.sin\beta.sin\gamma}{2sin\alpha}[/tex] ,то няма какво да разсъждаваме в задачата.
Заместваме и изчисляваме .

Скрит текст: покажи

Това може да е от тригонометрията.

[tex]\angle[/tex]ALC=([tex]\frac{225}{2}[/tex])[tex]^\circ[/tex] ,BLC=([tex]\frac{135}{2}[/tex])[tex]^\circ[/tex]

[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]S_{ALC}[/tex]+[tex]S_{LBC }[/tex]=[tex]\frac{k^{2}.sin\frac{225}{2}.sin45^\circ}{2sin(\frac{45}{2})^\circ}[/tex]+[tex]\frac{k^{2}.sin\frac{135}{2}.sin90^\circ}{2sin(\frac{45}{2})^\circ}[/tex]=

=[tex]\frac{k^{2}.sin[\frac{45}{2}+90^\circ].\frac{\sqrt{2}}{2}}{2sin(\frac{45}{2})^\circ}[/tex]+[tex]\frac{k^{2}.sin[90^\circ-(\frac{45}{2})^\circ]}{2sin(\frac{45}{2})^\circ}[/tex]=...

...=cotg([tex]\frac{45}{2}[/tex])[tex]^\circ[/tex].[tex]\frac{k^{2}(\sqrt{2}+2)}{4}[/tex]= (формула) [tex]\frac{1+cos45^\circ}{sin45^\circ}[/tex].[tex]\frac{k^{2}(\sqrt{2}+2)}{4}[/tex]=...

...=[tex]\frac{k^{2}(3\sqrt{2}+4)}{4}[/tex]

[Davids]

Стига да сме имали честта да се докоснем до тази формула въобще през математическата си кариера. Вече ще си знам! Благодаря за което!

[Евва]

Не зная дали се учи само в математическите гимназии,или изобщо не се учи .
Има я при формули за лице на триъгълник в четиризначните мат.таблици .