ДЗИ

[Гост]

. В равнобедрен △ABC AC BC ( = ) е вписана окръжност k с център О.
Лъчът BO→
пресича страната AC в точка Р, като AP = 6 cm и
PС =12 cm . Периметърът на △ABC е :

[Davids]

$BP$ е ъглополовяща, следователно от свойството на ъглополовящата имаме $AB:BC = AP:PC = 1:2$, т.е. $AB = \frac{AC}{2} = 9$ и така обиколката е $P = 2.18 + 9 = 45$

[Гост]

Ъглополящата също ли е 12 ?

[Евва]

25 зад. Получих отговор 54[tex]\sqrt{3}[/tex] .
Не е нужно да намираме BD .
Докажи,че ъглите в [tex]\triangle[/tex]АВС са-30[tex]^\circ[/tex] , 60[tex]^\circ[/tex] и 90[tex]^\circ[/tex].

[Гост]

А те се получават така от свойството на ъглополовящата ли? И става, че BC е половината от AB т. е катет, лежащ срещу ъгъл от 30 градуса ?

[Davids]

А те се получават така от свойството на ъглополовящата ли? И става, че BC е половината от AB т. е катет, лежащ срещу ъгъл от 30 градуса ?

Това, че $BC$ е половината от $AB$, не значи, че е катет срещу ъгъл 30°, а е следствие от този факт. За целта трябва да докажем каквото Евва е посочила. Най-бърз ми се струва тригонометричния подход:
Знаейки от свойството на ъглополовящата, че $AB:BC = 2$, можем чрез синусова теорема за АВС да изразим $\frac{sin3\alpha}{sin\alpha} = 2 \Leftrightarrow 3 - 4sin^2\alpha = 2 \Rightarrow sin^2\alpha = \frac{1}{4}$ и понеже $\alpha$ е остър, то $sin\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30°$, откъдето остатъкът е лесен.

Аз обаче бих подходил към задачата просто с подобни триъгълници. От $\triangle ABC \sim \triangle BDC \Rightarrow \frac{AB}{BD} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{BC}$, което е равносилно на:
$\frac{c}{12} = \frac{a}{6} = \frac{18}{a}$
Тогава $a^2 = 6.18 = 36.3 \Rightarrow a = 6\sqrt{3}$
и $c = 12\sqrt{3}$. Числата са питагорова тройка и ако се сетим, добре, но и иначе не са малко начините за намирне на лице по три страни.

[Евва]

AD=12 ; CD=6 ;BD-ъглополовяща
[tex]\frac{CD}{AD}[/tex]=[tex]\frac{BC}{AB}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{6}{12}[/tex]=[tex]\frac{BC}{AB}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] AB=2a и BC=a

(Сега sin T в [tex]\triangle[/tex]АВС) [tex]\frac{BC}{sin\alpha}[/tex]=[tex]\frac{AB}{sin(180^\circ-3\alpha)}[/tex]

[tex]\frac{a}{sin\alpha}[/tex]=[tex]\frac{2a}{sin3\alpha}[/tex]

sin3[tex]\alpha[/tex]=2sin[tex]\alpha[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 3sin[tex]\alpha[/tex]-4[tex]sin^{3}[/tex][tex]\alpha[/tex]=2sin[tex]\alpha[/tex]

4[tex]sin^{3}[/tex][tex]\alpha[/tex]-sin[tex]\alpha[/tex]=0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex](4[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-1)=0

sin[tex]\alpha[/tex]=0 или sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] или sin[tex]\alpha[/tex]=-[tex]\frac{1}{2}[/tex]

Първият ипоследният отговор-отпадат,при sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] намираме [tex]\alpha[/tex]=30[tex]^\circ[/tex].

S=[tex]\frac{AC.BC}{2}[/tex] =...

Скрит текст: покажи

Щом зад.е 25,то е логично да е по-трудничкааа.Браво на младежите,бързи са с компютрите.