Отношението на лицата

[Henz]

Страните на ABC са AB=c,AC=b,CB=a.Вътрешната ъглополовяща на ъгъл ACB пресича описаната около ABC окръжност в т.L.Да се намери отношението между лицата на триъгълниците ABL и ABC.Никаква ама никаква идея си нямам.

[martin123456]

ами [tex]S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex], [tex]S_{ALB}=\frac{ch_l}{2}[/tex].
[tex]\angle ABL=\angle ACL=\frac{\gamma}{2}[/tex] - като вписани с една и съща дъга. аналогично [tex]\angle BAL=\angle LCB=\frac{\gamma}{2}[/tex]=>[tex]AL=LB[/tex]. спускаме височината [tex]LH[/tex]. [tex]\Delta LBH[/tex]: [tex]h_l=HL=\frac{ctg\frac{\gamma}{2}}{2}[/tex].
значи търсеното отношение е [tex]\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{ctg\frac{\gamma}{2}}[/tex].
значи търсим [tex]tg\frac{\gamma}{2}[/tex]. използвай някоя ф-ла за намирането му

[ganka simeonova]

Нека ъглополовящата пресича описаната окт в т. Q. Нека [tex]AQ=m; BQ=n[/tex]Тогава
[tex]\frac{S_{ABL}}{ S_{ABC}} =\frac{LQ}{ CQ}[/tex]
От подобието на [tex]\Delta ALC; \Delta QBC=>\frac{CL}{a }= \frac{b}{ CQ} =>\frac{CQ+QL}{a }= \frac{b}{ CQ} =>[/tex]

[tex]CQ^2+LQ.CQ=ab=>LQ=\frac{ab-CQ^2}{CQ } =>LQ=\frac{ab-ab+mn}{CQ } =>LQ=\frac{mn}{CQ }[/tex]

[tex]\frac{LQ}{CQ } =\frac{mn}{CQ^2 } =\frac{mn}{ab-mn }[/tex]
m и n се изразяват чрез страните от свойството на ъглополовящата
Накрая ще получиш [tex]\frac{c^2}{ (a+b)^2-c^2}[/tex]

[ganka simeonova]

A м/у другото [tex]LQ.CQ=mn[/tex] може и по- кратко, от свойството на пресичащи се хорди

[Henz]

Благодаря и на двамата.