Равни хорди

[Гост]

Три равни хорди на сфера имат общ край и всеки две от тях сключват ъгъл [tex]2\beta[/tex] . Ако радиусът на сферата е R, намерете дължината на хордата.

[Davids]

PyramidSphere.png (82.16 KiB) Прегледано 276 пъти

Означенията по чертежа, смятам, са достатъчно еднозначни, няма да се впускам в подробности. Да захващаме директно решението.
Първо, по определение за синус имаме $sin\beta = \frac{a}{2l} \Rightarrow l = \frac{asin\beta}{2}$
От означения ъгъл $\varphi$ и отново по определение за синус имаме $sin\varphi = \frac{AH}{AO} = \frac{a}{\sqrt{3}R} \Rightarrow a = \sqrt{3}Rsin\varphi$
Така и вече $l = \frac{\sqrt{3}}{2}Rsin\beta sin\varphi$. Остана ни само $sin\varphi$ да изразим чрез дадените компоненти. Това ще стане от $\triangle AOD$, от който по синусова теорема (или чрез височина към основата и по определение за синус) достигаме до $cos\frac{\varphi}{2} = \frac{l}{2R}$. Тогава $sin\frac{\varphi}{2} = \frac{\sqrt{4R^2 - l^2}}{2}$.
И така $sin\varphi = 2sin\frac{\varphi}{2} cos\frac{\varphi}{2} = 2.\frac{l}{2R}.\frac{\sqrt{4R^2 - l^2}}{2R} = \frac{l\sqrt{4R^2 - l^2}}{2R^2}$

Окончателно получаваме:
$\cancel{l} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cancel{R}sin\beta.\frac{\cancel{l}\sqrt{4R^2 - l^2}}{2R^{\cancel{2}}}$
$\sqrt{4R^2 - l^2} = \frac{4R}{\sqrt{3}sin\beta}$
$4R^2 - l^2 = \frac{16R^2}{3sin^2\beta}$
$l^2 = 4R^2(1 - \frac{4}{3sin^2\beta})$
$\Rightarrow \boxed{l = \frac{2\sqrt{3}R}{3sin\beta}\sqrt{3sin^2\beta - 4}}$

[Гост]

Благодаря
Но нещо ме терзае в отговора. Предвид стойностите, които може да приема синусът, подкоренната величина не е ли така отрицателна?

[Davids]

Благодаря
Но нещо ме терзае в отговора. Предвид стойностите, които може да приема синусът, подкоренната величина не е ли така отрицателна?

Гледам, въртя, суча се... и не мога да си намеря грешката, пък отговорът е очевадно невалиден в този си вид Седя отново безмълвен и безсилен пред лицето на математиката, явно нещо някъде куца, само не мога да открия какво

[Davids]

Благодаря на @Евва за набитото око и дискретността, излиза, че грешката е още на първия ред и умело се е прокраднала покрай аналитичния ми взор Имаме $l = \frac{a}{2sin\beta}$, а не $l = \frac{asin\beta}{2}$