Триъгълник

[Гост]

Окръжността, вписана в равнобедрен триъгълник, разделя височината към
основата му на две части, които са в отношение 1:3, считано от върха на
триъгълника. Ако основата има дължина 12 cm, дължината на бедрото е:

[Davids]

Стандартни означения. По питаготова теорема имаме $b^2 = 36 + h^2$. От формулите за лице имаме $S = \frac{12h}{2} = 6h = pr = (6 + b)r$. От свойство на допирателните при бедрото имаме: $(b-6)^2 = (h-2r)h$.
Решаваш системата и си щастлив

[Гост]

Благодаря! Само не схващам какво е това свойство на допирателните?

[Евва]

[tex]\triangle[/tex]АВС е равнобедрен ,т.Н-среда на АВ (СН е височина към осн.),АВ=12 см. , К(О;r) e вписана в [tex]\triangle[/tex]АВС
Нека К пресича СН в т.Р ; Дадено е,че [tex]\frac{СР}{НР}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex] т.е. СР=х и НР=3х (а)

(Гледай чертежа) 3х=НР=2r т.е. 2r=3x [tex]\Leftrightarrow[/tex] r=[tex]\frac{3х}{2}[/tex] (1)

АО е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]АНС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ОС}{ОН}[/tex]=[tex]\frac{АС}{АН}[/tex] т.е. [tex]\frac{х+\frac{3х}{2}}{\frac{3х}{2}}[/tex]=[tex]\frac{АС}{6}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{\frac{5х}{2}}{\frac{3х}{2}}[/tex]=[tex]\frac{АС}{6}[/tex] ; Получаваме АС=10 см.

([tex]\triangle[/tex]АНС-правоъгълен) [tex]АС^{2}[/tex]=[tex]АН^{2}[/tex]+[tex]СН^{2}[/tex] ; 100=36+[tex]СН^{2}[/tex] т.е. СН=8 см.

Змаем,че СН=СР+РН ; 8=х+3х (виж (а) ) [tex]\Rightarrow[/tex] х=2 см. Получаваме СР=х=2 см. ,НР=3х=6 см.

( от (1) ) r=[tex]\frac{3.2}{2}[/tex]=3 см.
_______________________________________________________________________________________________
За да си сигурен,че реш.е вярно-си начертай [tex]\triangle[/tex]АВС ,като АВ=12 см.,АС=ВС=10 см.,СН=8 см.
К(О;r=3 см.)-вписана .Точка Р лежи на окр.К

Оказва се,че СР=2 см. ,НР=6 см.