3 задачи - паралелепипед и конус

[Гост]

Здравейте, спешно ми трябват решенията на следните 3 задачи:

zadachi.png (28.58 KiB) Прегледано 155 пъти

Извинете, че са на снимка, пратени са ми по имейл.

Благодаря!

[Davids]

67/3/ Осното сечение квадрат означава, че $2r = h$. Формулата за околна повърхнина е $2\pi rh = 12 \Rightarrow \pi h^2 = 12 \Rightarrow h = \frac{2\sqrt{3\pi}}{\pi}$ и $r = \frac{\sqrt{3\pi}}{\pi}$
Лицето на основата е $B = \pi r^2 = 3$ и така пълната повърхнина става $S_1 = 2B + S = 18$

68/2/ Околната повърхнина е $S = 2\pi rh$. Лицето на осното сечение е $Q = 2rh$. Бързо става очевидно, че $\frac{S}{Q} = \pi$

[Davids]

67/4/ За целта на задачата най-лесно ще е да построим същия паралелепипед върху дадения (т.е. да го надградим двойно). Нека горния паралелепипед кръстим $A_1B_1C_1D_1A_2B_2C_2D_2$. Построяваме $B_1C_2 || BC_1$ и така търсеният ъгъл е $\angle AB_1C_2$. Намираме с питагорова теорема $AB_1 = 2\sqrt{3}$ и $B_1C_2 = BC_1 = 2\sqrt{3}$. Остана да намерим $AC_2$, която се явява диагонал в надградената фигура, следователно $AC_2^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + BC^2 + CC_2^2 = 8 + 8 + 16 = 32 \Rightarrow AC_2 = 4\sqrt{2}$.
И така $cos\angle AB_1C_2 = \frac{AB_1^2 + B_1C_2^2 - AC_2^2}{2AB_1.B_1C_2} = \frac{12 + 12 - 32}{2.12.12} = -\frac{1}{36}$