Ромб и окръжност

[Гост]

Диагоналите на ромба ABCD се пресичат в точка O. Окръжност с център B и радиус BO пресича страната AB в средата и M. Ако дължината на MC е равна на 3[tex]\7{x}[/tex] и AC е по- дългия диагонал, то страната ромба е ?

[Davids]

Romb.png (36.45 KiB) Прегледано 157 пъти

Да приемем, че е дадено $MC = \frac{3}{7}$. От $AM = MB = OB = \frac{BD}{2}$ имаме, че $AB = BD$, т.е. страната е равна на по-късия диагонал. Ще я означим с $a$. Знаем, че в ромба диагоналите са си взаимно перпендикулярни, следователно $\angle AOB = 90^{\circ}$ и понеже $OB = \frac{a}{2}$, значи $\angle OAB = 30^{\circ}$. Намираме или чрез определение за косинус, или по питагорова теорема, че $AO = \frac{\sqrt{3}a}{2} \Rightarrow AC = \sqrt{3}a$.
Остана да приложим една косинусова теорема за $\triangle AMC$, според която:
$\frac{9}{49} = 3a^2 + \frac{a^2}{4} - 2.\sqrt{3}a.\frac{a}{2}cos30^{\circ} = \frac{12a^2 + a^2 - 6a^2}{4} = \frac{7}{4}a^2$
$\Rightarrow a^2 = \frac{4.9.7}{7^4}$
$a = \frac{6\sqrt{7}}{49}$