Ирационално показателно неравенство

[Гост]

[tex]\sqrt{2(25^{x}+24)}-\sqrt{5^{x}-7}\ge \sqrt{5^{x}+7}[/tex] (забранено е използването на изчислителна техника)

[Knowledge Greedy]

Явно събитията се развиват при [tex]x\ge log_57[/tex], т.е. [tex]5^x\ge 7[/tex]
Полагаме [tex]t=5^x[/tex]
Даденото неравенство е равносилно на [tex]\sqrt{2t^2+48} \ge \sqrt{t-7}+\sqrt{t+7}[/tex]

Дясната му страна [tex]R=R(t)=\sqrt{t-7}+\sqrt{t+7}<2\sqrt{t}[/tex] - от неравенството СА-СКв ( между средно аритметично и средно квадратично).

Сега ще докажем, че лявата страна
[tex]L=L(t)=\sqrt{2t^2+48}[/tex] надвишава значително [tex]2\sqrt{t}[/tex], за всяко [tex]t \ge 7[/tex]
Наистина, то е равносилно на
[tex](t-1)^2+23 \ge 0[/tex]
Явно е, че равенство не може да се случи за реални числа.
Следователно за вcяко допустимо [tex]t \,\ \Rightarrow \,\ L>R[/tex]
Отговор: [tex]\forall x[/tex], че [tex]x\ge log_57[/tex]

[Гост]

има ощи идин начин, ама ни ми съ пиши в момента

[Гост]

има ощи идин начин, ама ни ми съ пиши в момента

Нъпиши или нъ пиши- твоя работаиначе сиинтересен кат

[Гост]

има ощи идин начин, ама ни ми съ пиши в момента

Нъпиши или нъ пиши- твоя работаиначе сиинтересен кат

моля? научи съ да пишиш, ве пич

[Гост]

исках да реша задачата, ама нямах желание