logaritmi

[Гост]

Как се доказва правилото за смяна на базата при логаритмите и каква е връзката между десетичния и естествения логаритъм?

[Knowledge Greedy]

Въпросното правило е
[tex]log_ax=\frac{log_bx}{log_ba}[/tex]
Условно, тук [tex]a[/tex] е старата основа, а [tex]b[/tex] е новата.

Да означим [tex]log_ax=m[/tex]
Това равенство, съгласно дефиницията на логаритъм при основа [tex]a[/tex], е равносилно на [tex]a^m=x[/tex]
Ясно е, че или трябва да представим тази степен с основа [tex]b[/tex] или да логаритмуваме директно с основа [tex]b[/tex].
По-кратък е вторият път.
[tex]log_bx=log_ba^m[/tex]

Последователно
[tex]log_bx=mlog_ba[/tex]

[tex]log_bx=log_axlog_ba[/tex] и оттук - т.к.т.д. (това, което трябваше да се докаже).

Вторият въпрос представлява илюстрация на гореизписаното за [tex]a=10[/tex] и [tex]b=e[/tex], и обратно.
Означаваме [tex]log_{10}x[/tex] кратко така [tex]lgx[/tex] ( все пак спестяваме три знака (видимо) и 6 знака при печатане на LaTeX, нали ).
Означаваме [tex]log_{e}x[/tex] кратко така [tex]lnx[/tex]

[tex]lgx=\frac{lnx}{ln10} \,\ \Leftrightarrow \,\ lgx=0,434294lnx[/tex]

[tex]lnx=\frac{lgx}{lg10} \,\ \Leftrightarrow \,\ lnx=2,302585lgx[/tex]

Тук използвахме [tex]ln10=2,302585...[/tex] и [tex]lge=0,434294...[/tex] .
_____________
Законността на преобразу̀ванията съдържа в себе си неизменно областта от допустимите стойности на логаритмуваната величина [tex]x[/tex] и основата [tex]a[/tex].
Всичко, което написахме е за [tex]x>0[/tex] и произволни основи [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] от множеството [tex](0;1)\cup (1;+\infty)[/tex]
_____________
Разбира се, всички конкретни пресмятания са приближени. "По-голямата" част от стойностите на логаритмите са ирационални числа.