Равнобедрен триъгълник

[Гост]

1)В равнобедрение триъгълник ABC допирателната към вписаната окръжност, успоредна на AB, пресича AC и BC съответно в точките P и Q. Ако радиусите на окръжностите, вписани в ABC и PQC са съответно 6 и 1 сантиметра, то дължината на медианата към основата AB е ?

2)В остроъгълния триъгълник ABC, ъгъл CAB=75 градуса, ъгъл CBA=60 градуса, а H е ортоцентърът на триъгълника. Тогава синуса на ъгъл AHB е ?

[Davids]

1)

IsoscelesTriangle.png (31.23 KiB) Прегледано 265 пъти

Нека вписаната в $\triangle ABC$ окръжност допира $PQ$ в точка $M$ и $AH$ е височината (и ъглополовяща, и медиана) към $AB$. Тогава знаем, че $MH = 2r_{ABC} = 12$. Ще отбележим $AM = h$. Понеже $\triangle PQC \sim \triangle ABC$ и имаме отношението на два линейни елемента, то значи това е коефициента на подобие $k = \frac{1}{6}$. Тогава и височините към основата споделят същото отношение, значи $\frac{h}{h + 12} = \frac{1}{6}$, откъдето $h = \frac{12}{5} = 2,4$ и така търсената голяма височина е $AH = h + 12 = 14,4$

2)

TriangleStuff.png (25.54 KiB) Прегледано 265 пъти

Намираме третия ъгъл $\gamma = 45^{\circ}$ и понеже двата срещу положни ъгъла на четириъгълника $EHFC$ са равни на по $90^{\circ}$, то значи около него може да се опише окръжност и $\angle AHB = \angle EHF = 180 - 45 = 135$. Следователно $sin\angle AHB = sin135^{\circ} = sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$