Четириъгълник

[Гост]

В четириъгълник АВСD АВ=АD, ъгъл В=ъгъл D=90, М принадлежи на ВС, N принадлежи на CD и МD и АN са перпендикулярни. Докажете, че АМ и ВN са перпендикулярни.

[Davids]

43R736.png (34.44 KiB) Прегледано 201 пъти

$\triangle ABC \cong \triangle ACD$, тъй като имат две равни страни и са правоъгълни и двата. От двата срещуположни ъгъла по 90 градуса следва, че около $ABCD$ може да се опише окръжност. Срещу равни хорди - равни дъги, следователно $\angle ANB = \angle AMD$. Взимайки предвид това и че връхните ъгли $\angle NKD = \angle MKB$, имаме $\triangle O_1KN \sim \triangle OKM \Rightarrow \angle MOK = \angle NO_1K = 90^{\circ}$ и $AM \bot BN$

[Гост]

Тва за чочката или точката е? Как така М и N лежат на описаната окр.?

[Гост]

etgrtrrz.PNG (58.29 KiB) Прегледано 155 пъти

За всеки ортодиагонален (с перпендикулярни диагонали) четириъгълник [tex]X_1X_2X_3X_4[/tex] важи:
[tex]X_1X_2X_3X_4[/tex] e ортодиагонален [tex]\Leftrightarrow X_1X_2^{2}+X_3X_4^{2}=X_2X_3^{2}+X_1X_4^{2}[/tex] (доказва се лесно чрез Питагор)
[tex]AMND:[/tex]
[tex]AM^{2}+ND^{2}=MN^{2}+AD^{2}=MN^{2}+AB^{2}[/tex]
[tex]AM^{2}=BM^{2}+AB^{2}[/tex]
[tex]ND^{2}=AN^{2}-AD^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow BM^{2}+\cancel{AB^{2}}+AN^{2}-\cancel{AD^{2}}=MN^{2}+AB^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow BM^{2}+AN^{2}=MN^{2}+AB^{2}\Rightarrow ABMN[/tex] е ортодиагонален [tex]_{Q.E.D.}[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=5JbX5q08kJI