Триъгълник

[Гост]

Триъгълник АВС (АВ=c, ВC=а) е вписан в окръжност с радиус R. Намерете АC.

[S.B.]

Без заглавие (97).png (145.47 KiB) Прегледано 167 пъти

Триъгълник АВС (АВ=c, ВC=а) е вписан в окръжност с радиус R. Намерете АC.

Нека [tex]\angle A = \alpha[/tex] По синусова теорема : $\frac{a}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow sin\alpha = \frac{a}{2R}$,
$cos\alpha = \sqrt{1 - (\frac{a}{2R})^{2}} = \sqrt{\frac{4R^{2} - a^{2}}{4R^{2}}} = \frac{\sqrt{4R^{2} - a^{2}}}{2R}$
Нека $AC = x$ Прилагам косинусова теорема:$a^{2} = x^{2} + c^{2} - 2.c.x.cos\alpha$
$a^{2} = x^{2} + c^{2} - 2.c.x.\frac{\sqrt{4R^{2} - a^{2}}}{2R} \Leftrightarrow x^{2} -(\frac{c}{R}\sqrt{4R^{2} - a^{2}}). x + (c^{2} - a^{2}) = 0$
$ D = \frac{c^{2}(4R^{2} - a^{2})}{R^{2}} -4(c^{2} - a^{2}) = \frac{a^{2}(4R^{2} - c^{2})}{R^{2}} > 0$

$x_{1 ,2} =\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{c\sqrt{4R^{2} - a^{2}}}{R} \pm \displaystyle \frac{a\sqrt{4R^{2} - c^{2}}}{R}}{2} $
$ AC = x_{1,2 } = \frac{c\sqrt{4R^{2} - a^{2}} \pm a\sqrt{4R^{2} - c^{2}}}{2R}$
Два корена ще има,ако $c\sqrt{4R^{2} - a^{2}} > a\sqrt{4R^{2} - c^{2}}$

[Гост]

[tex]\cos\alpha=\pm...[/tex]
[tex]D\ge 0[/tex]

[Гост]

бонус задача: същото за остроъгълен АВС