Четириъгълник

[Гост]

Ако О е центърът на описаната около четириъгълника с взаимноперпендикулярни диагонали АВСD окръжност, да се докаже, че лицата на четириъгълниците АВСО и АDСО са равни.

[Davids]

$O$ лежи на $AC$ и $BD$, не следва ли, че $ABCO$ и $ADCO$ всъщност са триъгълници? Или поне четириъгълници с един ъгъл $180^{\circ}$.

[KOPMOPAH]

Четириъгълник.png (12.85 KiB) Прегледано 177 пъти

След като диагоналите са перпендикулярни, значи сумата на дъгите $\overset{\frown }{AB}$ и $\overset{\frown }{CD}$ e $180^\circ$, както и сумата на дъгите $\overset{\frown }{BC}$ и $\overset{\frown }{AD}$. На първата двойка дъги съответстват централни ъгли $\alpha$ и $\gamma$, а на втората - съответно $\beta$ и $\delta$.

Ако радиусът на описаната окръжност е $R$, то $$S_{ABCO}=S_{ABO}+S_{BCO}=\frac 12 R^2\sin {\alpha}+\frac 12 R^2\sin {\beta}=\frac 12 R^2(\sin {\alpha}+\sin {\beta})$$
От друга страна $$S_{ADCO}=S_{ADO}+S_{DCO}=\frac 12 R^2\sin {\delta}+\frac 12 R^2\sin {\gamma}=$$
$$=\frac 12 R^2(\sin {\delta}+\sin {\gamma})= \frac 12 R^2\big((\sin (180^\circ - \beta)+\sin (180^\circ -\alpha)\big)=\frac 12 R^2(\sin \beta+\sin \alpha)$$

Скрит текст: покажи

На чертежа не е отбелязана т.$O$, за да не препокрива обозначенията на ъглите. Мисля, че е ясно къде е тя

[Davids]

Аз от доста време не знам какво ми става, но... Не знам защо реших, и четох и препрочитах, че О е пресечната точка на диагоналите... Бавно, но сигурно, мозъкът ми си заминава... (бих сложил емотиконка, ама не е и смешно )