Допирателни към окръжност

[Гост]

През точка А са построени допирателните АВ и АС към дадена окръжност. От по-малката дъга ВС е избрана точка D. Правите ВD и АС се пресичат в точка Е, а правите СD и АВ-в точка F. Ако ВF=а и СE=b, да се намери ЕF.

[Гост]

dfrr.PNG (75.35 KiB) Прегледано 311 пъти

[tex]BC\bot OA[/tex] (от еднакви тр-ци). Построяваме [tex]FF'[/tex] и [tex]EE'[/tex] успоредно на [tex]BC[/tex] (т.е. перпендикулярно на [tex]OA[/tex])[tex]\Rightarrow BFF'C, FE'EF'[/tex] и [tex]BE'EC[/tex] са равнобедрени трапеци (и следователно вписани)
[tex]\angle BFF'=\angle BE'E[/tex], [tex]\angle E'BE=\angle FCB[/tex] (обща хорда [tex]BD[/tex]) [tex]=\angle FF'B[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle BFF'\sim \triangle EE'B\Rightarrow \frac{FF'}{E'B}=\frac{BF}{EE'}\Rightarrow FF'\cdot EE'=BF\cdot E'B=a\cdot b[/tex]
[tex]FE'EF':[/tex]
[tex]EF\cdot E'F'=FE'\cdot F'E+FF'\cdot EE'[/tex] (Πτολεμαίος) [tex]\Rightarrow EF^{2}=(b-a)^{2}+ab[/tex]
[tex]\Rightarrow \boxed{EF=\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}}[/tex]. [tex]_\square[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=5JbX5q08kJI