Трапец

[Гост]

В окръжност с радиус R е вписан трапецът ABCD с ъгъл BAD=60 градуса и ъгъл CAB=45 градуса. Намерете лицето на трапеца.

П. С. не е даден верният отговор

[Davids]

Стандартни означения. Ползваме синусова теорема:
$\triangle ACD \Rightarrow \frac{b}{sin15} = 2R \Rightarrow b = 2Rsin15$
$\triangle ABC \Rightarrow \frac{a}{sin75} = 2R \Rightarrow a = 2Rcos15$
$\triangle ABC \Rightarrow \frac{c}{sin45} = 2R \Rightarrow c = 2Rsin45$

Спускаме $CH = h$ и по определение за синус имаме $h = \frac{\sqrt{3}c}{2} = \sqrt{3}Rsin45$

И лицето на трапеца става:
$S = \frac{a + b}{2}.h = \frac{2R(sin15 + cos15)}{2}.\sqrt{3}Rsin45 = R^2.\cancel{\sqrt{2}}sin60.\sqrt{3}\cancel{sin45} = \frac{3}{2}R^2$

[Гост]

Имам въпрос: След като трапеца е вписан, не следва ли, че е равнобедрен?

[Гост]

да