Триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълникът ABC с AC=b, BC=a, в който ъгъл ACB е два пъти по- голям от ъгъл ABC. Намерете дължината на AB

[Davids]

Означаваме $AB = c$ и $\angle ABC = \beta; \angle ACB = 2\beta$.
По косинусова теорема имаме $b^2 = a^2 + c^2 - 2accos\beta$.
Аналогично $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos2\beta$.
Заместваме в горния израз:
$b^2 = a^2 + a^2 + b^2 - 2abcos2\beta - 2accos\beta$
$\Leftrightarrow 2accos\beta = 2a^2 - 2abcos2\beta |:2a$
$ccos\beta = a - bcos2\beta$
$\Rightarrow c = \frac{a - bcos2\beta}{cos\beta} = \frac{a - b(2cos^2\beta - 1)}{cos\beta} = \frac{a + b - 2bcos^2\beta}{cos\beta}$

По синусова теорема ще изнамерим:
$\frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin2\beta} = \frac{c}{2sin\beta cos\beta}$
$\Rightarrow cos\beta = \frac{csin\beta}{2bsin\beta} = \frac{c}{2b}$

Заместваме в израза за $c$:
$c = \frac{a + b -2b.\frac{c^2}{4b^2}}{\frac{c}{2b}}$
$c^2 = 2ab + 2b^2 - c^2$
$c^2 = ab + b^2$
$\boxed{c = \sqrt{ab + b^2}}$