триъгълник и описана окръжност

[Гост]

Даден е триъгълникът АВС с ортоцентър Н и медицентър G:
а) ако D е средата на една от страните, а К е пресечната точка на правата HD с описаната окръжност (D е между Н и К), да се докаже, че D е средата на НК;
б) ако Е е петата на една от височините, а F е пресечната точка на правата ЕG с описаната окръжност (G е между Е и F), да се докаже, че GF=2GЕ.

[Гост]

shfergeg.PNG (104.18 KiB) Прегледано 518 пъти

а) D лежи на окр. на 9-те точки за АВС (по дефиниция), а тази окр. е образът на описаната окр. при хомотетия с център Н и коефициент 1/2, защото минава през средите на [tex]CH, AH[/tex] и [tex]BH[/tex] (по дефиниция):
[tex]h(H;1/2):K\rightarrow D\Rightarrow HD=(1/2)HK[/tex] [tex]_{Q.E.D.}[/tex]
б) Aналогично, окр. на 9-те точки минава през Е (по дефиниция) и е образът на описаната окр. при хомотетия с център G и коефициент -1/2, защото минава през средите на страните на АВС (по дефиниция) ([tex]\vec{GD}=-\frac{1}{2}\vec{GB})[/tex]:
[tex]h(G;-1/2):F\rightarrow E\Rightarrow GF=2\cdot GE[/tex] [tex]_{Q.E.D.}[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=5JbX5q08kJI