Квадрат

[Гост]

Даден е квадратът ABCD с дължина на страната а. Върху страната BC е взета точката E така, че BE= една трета от а. Върху CD е взета точката F така, че ъгъл AEF=90 градуса. Отсечката EF е равна на ?

[Гост]

[tex]\frac{2\sqrt{10}}{9}\cdot a[/tex]

[Гост]

Може ли да знам как точно се стига до това решение

[Davids]

geogebra-export.png (55.22 KiB) Прегледано 173 пъти

По питагорова теорема намираме $АЕ = \frac{\sqrt{13}}{3}a$. Означаваме $\angle BAE = \alpha$, тогава $\angle AEB = 90 - \alpha$ и $\angle FEC = 90 - \angle AEB = 90 - 90 + \alpha = \alpha$. Тогава $\triangle AEB \sim \triangle EFC$ и оттам $\frac{EF}{AE} = \frac{CE}{AB} = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow EF = \frac{\sqrt{13}}{9}a$

[S.B.]

Без заглавие - 2019-03-15T214042.710.png (156.93 KiB) Прегледано 168 пъти

Даден е квадратът ABCD с дължина на страната а. Върху страната BC е взета точката E така, че BE= една трета от а. Върху CD е взета точката F така, че ъгъл AEF=90 градуса. Отсечката EF е равна на ?

За [tex]\triangle ABE : BE = \frac{a}{3} ,AB = a[/tex] по Питагор : $ AE = \frac{a\sqrt{10}}{3} $ , $cos \angle BAE = \displaystyle \frac{a}{\displaystyle \frac{a\sqrt{10}}{3}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
$\angle FEC + \angle BEA = 90^\circ ,\angle BAE + \angle BEA = 90^\circ \Rightarrow \angle BAE = \angle FEC \Rightarrow cos \angle BAE = cos \angle FEC = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
$ cos\angle FEC = \displaystyle \frac{CE}{FE} \Rightarrow FE =\displaystyle \frac{CE}{cos \angle FEC} = \frac{\displaystyle \frac{2a}{3}}{\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}} = \displaystyle \frac{2\sqrt{10}}{9}.a$

[Davids]

Ох, взел съм грешната страна на отношението... Нищо, имаме и друг вариант...