Квадрат

[Гост]

Даден е квадратът АВСD. Извън него е избрана точка Е (правата АЕ пресича отсечката ВС) такава, че ъгъл АЕС е прав. Ако АЕ =а и ЕС =b, да се намери ВЕ.

[S.B.]

Без заглавие - 2019-03-16T154310.440.png (192.87 KiB) Прегледано 169 пъти

Даден е квадратът АВСD. Извън него е избрана точка Е (правата АЕ пресича отсечката ВС) такава, че ъгъл АЕС е прав. Ако АЕ =а и ЕС =b, да се намери ВЕ.

За [tex]\triangle AEC: AC^{2} = AE^{2} + EC^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow AC = \sqrt{a^{2} + b^{2}}[/tex] , но [tex]AC = AB\sqrt{2} \Rightarrow AB = \frac{\sqrt{2(a^{2} + b^{2})}}{2}[/tex]
[tex]cos\delta = \frac{AE}{AC} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} , sin\delta = \frac{EC}{AC} = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}[/tex]
[tex]\angle \alpha = 45^\circ - \delta \Rightarrow cos\alpha = cos(45 - \delta) = cos45.cos\delta + sin45.sin\delta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{a + b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})[/tex]
За $\triangle ABE$ прилагам косинусова теорема: $BE^{2} = AB^{2} + AE^{2} - 2.AE.AB.cos\alpha $
$BE^{2} = \frac{2(a^{2} + b^{2})}{4} + a^{2} - 2.\frac{\sqrt{2(a^{2} + b^{2})}}{2}.a.\frac{\sqrt{2}(a + b)}{2\sqrt{a^{2} + b^{2}}}= \frac{(a - b)^{2}}{2}$
$ BE = \frac{\sqrt{2}}{2}.|a - b|$

[Гост]

Mоже да се махне модулът, защото [tex]\delta<45^\circ[/tex], a [tex]\angle ACE>45^\circ\Rightarrow \delta<\angle ACE\Rightarrow b<a[/tex]
[tex]\Rightarrow BE=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (a-b)[/tex]

[Гост]

Може и без тригонометрия-директно се прилага теор. на Птолемей за АСЕВ.