Тетраедър

[Гост]

Даден е тетраедърът ОАВС с височина ОН. Равнините АОВ, АОС и ВОС са взаимноперпендикулярни. Ако ОА =а, ОВ =b, ОС =с и ОН =h, да се докаже, че:
а) [tex]S^{2}(AOB)=S(ABC).S(ABH)[/tex];
б) [tex]S^{2}(AOB)+S^{2}(AOC)+S^{2}(BOC)=S^{2}(ABC)[/tex];
в) [tex]abc=2S(ABC).h[/tex];
г) [tex]1/a^{2})+1/b^{2}+1/c^{2}=1/h^{2}[/tex].

[KOPMOPAH]

Тетраедър.png (9.28 KiB) Прегледано 154 пъти

а)
$$DH=OD\cos \alpha \Rightarrow {DH.AB \over 2}={OD.AB .\cos \alpha \over 2}\Rightarrow S_{ABH}=S_{AOB} .\cos \alpha~~~~~~~~~~~~(1)$$
$$OD=CD\cos \alpha \Rightarrow {OD.AB \over 2}={CD.AB .\cos \alpha \over 2}\Rightarrow S_{AOB}=S_{ABC} .\cos \alpha~~~~~~~~~~~~(2)$$
От $(1)$ изразяваме $\cos \alpha$ и заместваме в $(2)$ $$S_{AOB}=S_{ABC}.{S_{ABH} \over S_{ABO}}\Rightarrow S_{AOB}^2=S_{ABC}.S_{ABH}$$

б) по логиката на горното решение $$S_{AOB}^2=S_{ABC}.S_{ABH}$$ $$S_{AOC}^2=S_{ABC}.S_{ACH}$$ $$S_{BOC}^2=S_{ABC}.S_{BCH}$$Събирайки почленно левите и десните страни получаваме$$S_{AOB}^2+S_{AOC}^2+S_{BOC}^2=S_{ABC}.S_{ABH}+S_{ABC}.S_{ACH}+S_{ABC}.S_{BCH}=S_{ABC}(S_{ABH}+S_{ACH}+S_{BCH})=S_{ABC}.S_{ABC}=S_{ABC}^2$$

в)$$V_{ABCO}=\frac 12 .\frac 13.abc \Rightarrow abc=6V_{ABCO}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3) $$ От друга страна $$V_{ABCO}=\frac 13.S_{ABC}.h \Rightarrow 2S_{ABC}.h=6V_{ABCO}~~~~~~~~~~~~(4) $$От $(3)$ и $(4)$ следва $$abc= 2S_{ABC}.h$$

г) Разделяме всички членове на равенството
$$S_{AOB}^2+S_{AOC}^2+S_{BOC}^2=S_{ABC}^2$$ на $V_{ABCO}^2$ и получаваме $${S_{AOB}^2 \over V_{ABCO}^2}+{S_{AOC}^2\over V_{ABCO}^2}+{S_{BOC}^2 \over V_{ABCO}^2}={S_{ABC}^2 \over V_{ABCO}^2}$$ $${S_{AOB}^2 \over {S_{AOB}^2.c^2}}+{S_{AOC}^2\over {S_{AOC}^2.b^2}}+{S_{BOC}^2 \over {S_{BOC}^2.a^2}}={S_{ABC}^2 \over {S_{ABC}^2.h^2}}$$ и след съкращаване на каквото трябва, получаваме в крайна сметка $${1 \over {a^2}}+ {1 \over {b^2}}+{1 \over {c^2}}={1 \over {h^2}}$$