Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълният триъгълник АВС с прав ъгъл при върха В и височина ВН. Върху хипотенузата АС са избрани точките D и Е така, че АD =DЕ =ЕС (Н е между А и D). Ако BH/АC=2/5, да се намери тангенсът на ъгъл EBD.

[Knowledge Greedy]

За да не пишем утежняващи дробни части, означаваме [tex]15b[/tex] хипотенузата [tex]AC=15b[/tex],
следователно [tex]CD=DE=EA=5b[/tex] и [tex]BH=6b[/tex]. Освен това [tex]x+y=5b[/tex] - виж чертежа.

Тангенс на никакво място.png (5.39 KiB) Прегледано 215 пъти

Острите ъгли [tex]\alpha[/tex] и [tex]\gamma[/tex] на правоъгълния триъгълник имат свойството [tex]tg\alpha.tg\gamma = 1[/tex]
Чрез съответните правоъгълни триъгълници това води до [tex]\frac{h}{5b+x}.\frac{h}{5b+y}=1 \,\ \Leftrightarrow \,\ h^2=36b^2=(5b+x)(5b+y)[/tex]

Да означим още [tex]\angle DBH=\varphi[/tex] и [tex]\angle HBE=\psi[/tex]
Ясно е, че ще използваме формулата [tex]tg(\angle DBE)=\frac{tg\varphi+tg\psi }{1-tg\varphi.tg\psi }[/tex]
С всички означения по-горе [tex]tg\varphi=\frac{x}{h}[/tex] и [tex]tg \psi =\frac{y}{h}[/tex]

[tex]tg(\angle DBE)=\frac{\frac{x}{h}+\frac{y}{h}}{1-\frac{x}{h}.\frac{y}{h}} = \frac{(x+y)h}{h^2-xy}[/tex]
Заместваме според данните следващи от условието (– виж над чертежа)
[tex]tg(\angle DBE)= \frac{(5b).6b}{(5b+x)(5b+y)-xy}[/tex]

[tex]tg(\angle DBE)= \frac{30b^2}{25b^2+10b(x+y)+\cancel {xy}-\cancel {xy}}[/tex]

[tex]tg(\angle DBE)= \frac{30b^2}{25b^2+50b^2}=\frac{2}{5}[/tex]

[Гост]

На предпоследния ред трябва да е [tex]...5b(x+y)...[/tex]и се получава [tex]3/5[/tex]

[Гост]

иначе добро решение...браво!

[Гост]

по-енигматична задачата щеше да бъде, ако направо беше казано да се намери ъгъл EBD

[Гост]

[tex]\angle EBD\approx 31^\circ[/tex]