Равнобедрен триъгълник

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС (АВ =ВС) с височина АD. Oкръжността с диаметър ВС (пресича отсечките АВ и АС) пресича АD в Е. Ако АС =2, да се намери СЕ.

[Гост]

Язе получавам [tex]\sqrt{2}[/tex]. Едно от у-ята по пътя към отговора: [tex]2=y^{2}-y\sqrt{|2-y^{2}|}[/tex]

[123a]

Може и без това уравнение

$\angle$ $ACB=\alpha$, $\angle$ $BEC=90^\circ$, $\angle$ $BNC=90^\circ$

Лесно се доказва, че $S^2_{BEC}=$ $S_{ABC}.S_{HBC}$.

В [tex]\triangle[/tex] $ADC$ $tg\alpha=\frac{AD}{CD}$

В [tex]\triangle[/tex] $HDB$ $tg\alpha=\frac{BD}{HD}$

Приравняваме и получаваме $BD.CD=AD.HD$, но $ED^2=BD.CD=>ED^2=AD.HD$ Умножаваме двете страни по $\frac{BC^2}{4}$ и получаваме,че
$S^2_{BEC}=$ $S_{ABC}.S_{HBC}$.

Оттук следва, че $EC^2.EB^2=BN.2.BC.HD (*)$

В [tex]\triangle[/tex] $HDB$ $tg\alpha=\frac{BD}{HD}$

В [tex]\triangle[/tex] $NBC$ $tg\alpha=\frac{BN}{NC}$ и приравнявайки двете равенства, получаваме $HD=\frac{BD}{BN}$ заместваме в $(*)$

$EC^2.EB^2=2.BC.BD (**)$

Сега да разгледаме $\triangle$ $EBD$.

$EB^2=ED^2+BD^2$, но от $\triangle$ $BEC$ имаме, че $ED^2=BD.CD=>EB^2=BD(CD+BD)=BD.BC=EB^2$

Последното заместваме в $(**)$ и получаваме $EC^2.EB^2=2.EB^2=>EC^2=2=>EC=\sqrt{2}$

[inveidar]

Гледайте чертежа от предишния пост.
[tex]\triangle CED[/tex] е правоъгълен и от метричните зависимости в правоъгълен триъгълник получаваме [tex]CE^2=CD.CB[/tex].
От друга страна [tex]\triangle CNB \sim \triangle CDA \Rightarrow \frac{CN}{CD}=\frac{CB}{CA} \Leftrightarrow CD.CB=\frac{CA^2}{2}[/tex].
От това и от предишното равенство следва, че [tex]CE^2=\frac{CA^2}{2} \Rightarrow CE=\sqrt{2}[/tex].