Уравнение на допирателна

[Гост]

Как се извежда теоремата за уравнение на допирателна y=f'(x)(x-[tex]x_{0}[/tex])+f([tex]x_{0}[/tex])

[Knowledge Greedy]

Все пак нещо трябва да се знае, преди да започнем. Ето едно наивно обяснение.

Обяснение в допирателна.png (13.41 KiB) Прегледано 728 пъти

Уравнението на права осъществява зависимостта между координатите на всяка от точките на правата.
На чертежа са изобразени само две точки от правата [tex]M_0(x_0,y_0)[/tex] и [tex]M(x,y)[/tex]
Да предположим, че знаем какво е ъглов коефициент на права, записана с декартово уравнение [tex]y=kx+b[/tex].
Това е числото [tex]k[/tex] пред независимата променлива [tex]x[/tex].
То показва неизменното отношение на разликата на ординатите на две точки от правата [tex]MN=y-y_0[/tex], към разликата на техните абсциси [tex]M_0N=x-x_0[/tex]. Изразява наклона на правата относно една постоянна права, нарчена абсцисна координатна ос.
Казано с езика на тригонометрията [tex]k=tg\alpha =\frac{MN}{M_0N}=\frac{y-y_0}{x-x_0}[/tex]

На един ред [tex]{ y=k(x-x_0)+y_0}[/tex]

Случайно или не, същата форма на запис се среща при граничния преход [tex]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex]
когато точка [tex]Z(x,f(x))[/tex] от кривата с уравнение [tex]y=f(x)[/tex] се приближава към точката [tex]M_0(x_0,y_0=f(x_0))[/tex] – допирната точка (общата точка на правата и кривата) .
Границата по-горе наричаме производна в точката [tex]x_0[/tex] (от дефиниционното множество на функцията [tex]y=f(x)[/tex]).
Означаваме я
[tex]f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex]

Оказва се, че в граничен преход [tex]k=f'(x_0)[/tex]
Следователно
[tex]{ y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Снощи, в тъмното не съм видял грешката в

Как се извежда теоремата за уравнение на допирателна [tex]y=f'(x)(x-x_{0})+y_0[/tex]

Всъщност има възможност "грешката да е вярна" - в смисъл, че когато [tex]x \rightarrow x_0[/tex] , може да се приеме
[tex]y \approx f'(x)(x-x_{0})+y_0[/tex] (нелинейна функция (!?))
в някаква малка околност на [tex]x_0[/tex], но това е далече от идеята за допирателна - графичния израз на линейната функция - чиито мащабни приложения надхвърлят простотата, заради която я използваме.

Да подчертая отново.
Предложеното твърдение от Гост » Чет Мар 21, 2019 11:09 pm
[tex]y=f'(x)(x-x_{0})+y_0[/tex]
е некоректно.
Вярното (т.е. това, което се надявам, че е искал да попита Гост » Чет Мар 21, 2019 11:09 pm) е
[tex]y=f'(x_0)(x-x_{0})+y_0[/tex]

- все пак, нека правим разлика между конкретното число [tex]f(x_0)[/tex] и функция с приличащо изписване на формулата [tex]f(x)[/tex].