Триъгълник и вписана окр.

[Гост]

Триъг. АВС, ъгъл А =60, ъгъл С =40, т. I-център на вписаната окр. Да се докаже, че СI =АВ

[Davids]

Triangle.png (22.9 KiB) Прегледано 190 пъти

Намираме ъглите на триъгълника, спускаме ъглополовящите до центъра и разглеждаме две синусови теореми:
$\triangle AIC \Rightarrow \frac{l_c}{sin30} = \frac{l_a}{sin20}$
$\triangle AIB \Rightarrow \frac{c}{sin110} = \frac{l_a}{sin40}$

Изразяваме съответно:
$l_c = \frac{l_asin30}{sin20} = \frac{l_a}{2sin20}$
$c = \frac{l_asin110}{sin40} = \frac{l_asin(90 + 20)}{2sin20cos20} = \frac{l_a\cancel{cos(20)}}{2sin20\cancel{cos20}} = \frac{l_a}{2sin20}$

$\Rightarrow \boxed{c = l_c = \frac{l_a}{2sin20}}$

[Гост]

jfhrjerjnetf.PNG (34.83 KiB) Прегледано 152 пъти

[tex]BD[/tex]-ъглопол. на [tex]\measuredangle IBC\Rightarrow \triangle ADB[/tex]-равностранен, [tex]\triangle IBC\cong \triangle DCB\Rightarrow CI=BD=AB[/tex] [tex]_{Q.E.D.}[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=5JbX5q08kJI