етириъгълници и лицаЧ

[Гост]

АВСD-четириъг. с лице S, Е и F от ВС-ВЕ =ЕF =FС, G и Н от АD-АН =НG =GD.Да се намери лiцето на ЕFGН.

[Гост]

S/3

[Евва]

И аз получих такъв отговор.Добре е Гост да запише по-добре условието .

[Гост]

как става?

[123a]

Гледай картинката

$S_{DGF}=S_{GHF}$ понеже $GF$ е медиана в [tex]\triangle[/tex] $DFH$

Аналогично $S_{FHE}=S_{EHB}$,понеже $HE$ е медиана в [tex]\triangle[/tex] $BFH$

$S_{ABCD}=S_{DFC}+S_{ABH}+2.S_{GHF}+2.S_{HEF} $

$S_{ABCD}=S_{DFC}+S_{ABH}+2.S_{EFGH}(*)$

От една страна $S_{DFC}=\frac{1}{3}.S_{DCB}$ и $S_{AHB}=\frac{1}{3}.S_{ABD}$

$S_{DFC}+S_{AHB}=\frac{1}{3}.S_{DCB}+\frac{1}{3}.S_{ABD}=\frac{S_{ABCD}}{3}$ и сега се връщаме в $(*)$

$S=\frac{S}{3}+2.S_{HEFG}=>\frac{2}{3}.S=2.S_{HEFG}=>S_{HEFG}=\frac{S}{3}$

[Евва]

Ето моето решение.
Да означим [tex]S_{AEH}[/tex]=[tex]S_{1 }[/tex], [tex]S_{EFG }[/tex]=[tex]S_{2 }[/tex], [tex]S_{ABE }[/tex]=[tex]S_{3 }[/tex], [tex]S_{GCD }[/tex]=[tex]S_{4 }[/tex]
EH-медиана в [tex]\triangle[/tex]AEG [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{HEG }[/tex]=[tex]S_{1 }[/tex]
GF-медиана в [tex]\triangle[/tex]GEC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{GFC }[/tex]=[tex]S_{2 }[/tex]
Като нанесем от [tex]S_{1 }[/tex] до [tex]S_{4 }[/tex] на чертежа ,виждаме че :

2[tex]S_{1 }[/tex]+2[tex]S_{2 }[/tex]+[tex]S_{3 }[/tex]+[tex]S_{4 }[/tex]=S

2([tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex])+[tex]\frac{S_{ABC }}{3}[/tex]+[tex]\frac{S_{ACD }}{3}[/tex]=S

2[tex]S_{HEFG }[/tex]+[tex]\frac{S_{ABCD }}{3}[/tex]=S

2[tex]S_{HEFG }[/tex]=[tex]\frac{2S}{3}[/tex]

[tex]S_{HEFG }[/tex]=[tex]\frac{S}{3}[/tex]