Задача за трапец

[Henz]

Около окръжност е описан равнобедрен трапец ABCD(AB успоредно на CD ).Общата точка M на бедрото BC и окръжността го разделя на отсечки BM=9 и MC=4.Да се намери лицето на трапеца ABCD.Остава ми да намеря височината но се мъча и не става.

[ivelinkaaa]

?ВОС е правоъгълен =>ОМ^2=ВМ.МС по този начин намираш r=? h=2r a+b=20 от теоремата за вписана окр.

[Henz]

Само не разбирам защо е правоъгълен и OM защо му се пада височина?

[ganka simeonova]

Само не разбирам защо е правоъгълен и OM защо му се пада височина?

Нека О е центърът на окр, тогава ВО и СО са ъглополовящи. Тогава <СОВ е прав( ъглополовящи на ъгли, чиито сбор е 180 градуса се пресичат под прав ъгъл).
И ако построиш радиуса ОМ , той ще се яви височина в прав. триъгълник. Ползваш метрични зависмиости. Ивелинка ти е написала.

[Henz]

Нека О е центърът на окр, тогава ВО и СО са ъглополовящи.

Не мога да разбера защо са ъглополовящи? И това после не мога да го схвана.

Нека О е центърът на окр, тогава ВО и СО са ъглополовящи.

[mathinvalidnik]

По определение имаш,че [tex]MC=CN(=4)[/tex] като съоитветни допирателни ръмене на ъгъл.Същото важи и за MB и BQ ,[tex]MB=BQ(=9)[/tex] ,Но тук освен това имаш и равнобедрен трапец описан около окръжност => [tex]CN=DN(=4)[/tex] , [tex]BQ=AQ(=9)[/tex].По този начин ти имаш дължините на всичките си страни.аз бих използвал ф-лата [tex]S=\sqrt{a.b.c.c}(=12 sm^{2})[/tex],която се използва в чатност за трапец описан около окръжност,но щом държиш да намираш всичките елементи можеш да спуснещ двете всиочини DH,CH1 и от 18 вадиш 8 и делиш на 2 за да намериш дължините на AH и BH1 и от там по Питагорова теорема да намериш височината и след това да приложиш [tex]S=\frac{a+b}{2 }.h[/tex]

п.п Ако има нещо-питай!

[Henz]

Ганке всъщност се сетих какво имаш предвид.Бях забравил за онова правило че центъра на окръжност която се допира до раменет на даден ъгъл,лежи върху ъглополовящата на този ъгъл.Мерси на тебе и на ivelinkaaa,за първото решение.

mathinvalidnik,какво е това свойство,за пръв път го виждам ще ми обясниш ли по-подробно?Защо MC=CN?После какво като е равнобедрен защо BQ=AQ?Много интересно решение .

[mathinvalidnik]

Виж сега,щет се опитам да ти го докажа.Макар,че на 3ти ред от поста ми съм допуснал грешка и сиг си я забелязал.[tex]S=\sqrt{a.b.c.c}=\sqrt{8.18.13.13}=13.2.2.3=13.12=156sm^{2}[/tex] Просто съм го изтървал-сорка.

Относно въпроса ти: Погледни чертежа.Червените линии са радиусите на окръжността,които се допират с допирателните(AB,BC,CD,AD),с тях те сключват прав ъгъл(основно свойство).След като ги построим построяваме съответно и правите OA,OB,OC,OD.Нека да изясним,че тук говорим за равнобедрен трапец (AB||>CD,AC=BC),смисъл това не се отнася до всеки(какъвто и да било) описан около окръжност трапец. Правите OA,OB,OC,OD винаги се явяват ъглополовящи на външен ъгъл,смисъл <MBO=<OBN, от което следва(2 ъгъла и страна(радиуса),90-градусовите M и N и 2та ъгъла <MBO=<OBN),че тригълниците са еднакви и от еднаквостта следва,че MB=NB.Аналогично се доказва и за останалите NOC=CON,POD=DOQ,QOA=AOM и от там [tex]CN=CP ,DP=QD,AQ=AM[/tex] ,разбирам ,че на теб ти се губи връзката ,от къде идва равенството между MB=AM И CP=DP ,с което всъщност задача се решава.Отговорът е лесен-Трапецът е равнобедрен => <DAB=<CBA,<ADC=<BCD И от там мисля,че всичко вече ти се изяснява ако си схванал прочетеното до тук.

Искам да ти направя едно малко пояснение,което мисля те обърква- OB И OD НЕ са една права смисъл DB си е диагонала но това са 2 различни прави между,които съществува ъгъл.Същото се отнася и за AO и OC.Надявам се ме разбираш

п.п Ако има нещо-питай!

[Henz]

mathinvalidnik мерси за перфектното обяснение. Всичко е ясно вече.

[mathinvalidnik]

Сега можеш да пробваш тази ако искаш :

Даден е трапец АВСD (AB || CD, AB>CD), в който може да се впише окръжност и около който може да се опише окръжност. Да се намерят дължините на страните на трапеца, ако периметърът и лицето му са съответно равни на 20 и 15.

[Henz]

Получих CD=1,AB=9,BC=5,това ли са отговорите?

[mathinvalidnik]

Получих CD=1,AB=9,BC=5,това ли са отговорите?

Точно така.Браво!Това значи че си схванал предишния пост....

[Henz]

Още веднъж мерси за обяснението,много ще ми е полезно.