Разстояние от центъра до страна

[Гост]

Даден е триъгълник ABC, в който AC=5, AB=7 и [tex]\angle ACB[/tex]=60. Да се намери разстоянието от центъра на описаната около триъгълника окръжност до страната BC.

[S.B.]

Без заглавие (12).png (176.23 KiB) Прегледано 872 пъти

Даден е триъгълник ABC, в който AC=5, AB=7 и [tex]\angle ACB[/tex]=60. Да се намери разстоянието от центъра на описаната около триъгълника окръжност до страната BC.

Нека $BC = x$.Прилагам косинусова теорема:
$7^{2} = 5^{2} + x^{2} - 2.5.x.\frac{1}{2} \Leftrightarrow x^{2} - 5x -24 = 0$ с корени $x_{1 } = -3 <0,x_{2 } = 8 \Rightarrow BC = 8$
Прилагам синусова теорема:
$\displaystyle \frac{AB}{sin60^\circ} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{7}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \Rightarrow R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$
Разглеждам $\triangle COP$ : т.$O$ - център на описаната окръжност $\Rightarrow O$ принадлежи на симетралата на $BC \Rightarrow OP \bot BC$
$PC = \frac{BC}{2} = 4 ,OC = R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ По Питагор $OP = \sqrt{R^{2} - 4^{2}} = \sqrt{\frac{49.3}{9} - 16} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$