Триъгълник, чийто медиана и ъглополовяща са перпендикулярни

[Гост]

В [tex]\triangle ABC[/tex] медианата [tex]AM[/tex] и ъглополовящата [tex]BL[/tex] са перпендикулярни и имат една и съща дължина, равна на [tex]4[/tex]. Да се намери [tex]P_{\triangle ABC}[/tex].
Отговор: [tex]3(\sqrt{5}+\sqrt{13})[/tex]

[Гост]

Моля който може да помогне. Задачата е от матура по математика за 2009.

[Davids]

Triangle2.png (25.72 KiB) Прегледано 847 пъти

Стандартни означения. В $\triangle ABM$ $BO$ е ъглополовяща и височина, значи той е равнобедрен. Оттам и $a = 2c$. Паралелно с това от свойството на ъглополовящата знаем, че $AL:LC = 1:2$, означаваме $AL = x; LC = 2x$. Следователно търсеният периметър става $P = 2(c + x)$.
Формула за дължина на медианата:
$4 = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$
$\Rightarrow 32 = 9x^2 - c^2$

Формула за дължина на ъглополовяща:
$4^2 = 2c.c - 2x.x$
$\Rightarrow c^2 - x^2 = 8$

Полагаме за улеснение $m = x^2; n = c^2$ и решаваме системата:
[tex]\begin{array}{|l} 9m - n = 32 \\ m - n = 8 \end{array}[/tex]

Решения са $m = 5 = x^2; n = 13 = c^2$, оттам и $P = 2(c + x) = 2(\sqrt{5} + \sqrt{13})$