Допирателни към описана окр.

[Гост]

[tex]\triangle[/tex]ABC, AB=6, BC=5, AC=7. Допирателните към описаната окр. к в В и С се пресичат в Х. Z е произволна точка от к. Y е петата на препендикуляра от Х към СZ. К е пресечната точка на описаната около ВСY окр. и правата АВ. Ако Y е между С и Z и YZ=3CY, да се намери АК.

[Гост]

iuhuhhjhn.PNG (99.58 KiB) Прегледано 178 пъти

От косинусова теорема се вижда, че [tex]\triangle ABC[/tex] е остроъгълен.
Построяваме окръжност [tex]k_2[/tex] с център [tex]X[/tex] и радиус [tex]XC=XB[/tex], която пресича продълженията на [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex] съответно в [tex]B'[/tex] и [tex]C'[/tex]. Степента на [tex]Y[/tex] спрямо [tex]k[/tex] е [tex]-CY\cdot YZ[/tex]. Степента на [tex]Y[/tex] спрямо [tex]k_2[/tex] е [tex]XY^{2}-CX^{2}=-CY^{2}\Rightarrow[/tex] отношението на степените на [tex]Y[/tex] спрямо [tex]k[/tex] и [tex]k_2[/tex] е [tex]3:1[/tex]. ГМ на точките със същото отношение на степените спрямо [tex]k[/tex] и [tex]k_2[/tex] като [tex]Y[/tex] е окръжност през [tex]Y[/tex] и краищата на хордата [tex]BC[/tex], т.е. описаната около [tex]\triangle BCY[/tex] окр. [tex]k_1\Rightarrow \frac{\cancel{KB}\cdot KA}{KB'\cdot \cancel{KB}}=3[/tex].
[tex]OBXC: \angle CXB=180^\circ-2\alpha[/tex]
[tex]\angle CXC'=180^\circ-2\beta[/tex]
[tex]\angle BXB'=180^\circ-2\gamma[/tex]
[tex]\Rightarrow C'XB'=180^\circ\Rightarrow C',X,B'[/tex] лежат на една права.
[tex]\triangle BXQ: \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha=\frac{5}{7}=\frac{BQ}{BX}=\frac{BC}{2BX}\Rightarrow BX=\frac{7}{2}\Rightarrow B'C'=7[/tex]

[tex]\triangle ABC\sim \triangle AC'B'\Rightarrow AB'=\frac{AC\cdot B'C'}{BC}=\frac{49}{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow AK=\frac{3}{2}AB'=\frac{147}{10}[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=5JbX5q08kJI

[Гост]

iuhuhhjhn.PNG

От косинусова теорема се вижда, че [tex]\triangle ABC[/tex] е остроъгълен.
Построяваме окръжност [tex]k_2[/tex] с център [tex]X[/tex] и радиус [tex]XC=XB[/tex], която пресича продълженията на [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex] съответно в [tex]B'[/tex] и [tex]C'[/tex]. Степента на [tex]Y[/tex] спрямо [tex]k[/tex] е [tex]-CY\cdot YZ[/tex]. Степента на [tex]Y[/tex] спрямо [tex]k_2[/tex] е [tex]XY^{2}-CX^{2}=-CY^{2}\Rightarrow[/tex] отношението на степените на [tex]Y[/tex] спрямо [tex]k[/tex] и [tex]k_2[/tex] е [tex]3:1[/tex]. ГМ на точките със същото отношение на степените спрямо [tex]k[/tex] и [tex]k_2[/tex] като [tex]Y[/tex] е окръжност през [tex]Y[/tex] и краищата на хордата [tex]BC[/tex], т.е. описаната около [tex]\triangle BCY[/tex] окр. [tex]k_1\Rightarrow \frac{\cancel{KB}\cdot KA}{KB'\cdot \cancel{KB}}=3[/tex].
[tex]OBXC: \angle CXB=180^\circ-2\alpha[/tex]
[tex]\angle CXC'=180^\circ-2\beta[/tex]
[tex]\angle BXB'=180^\circ-2\gamma[/tex]
[tex]\Rightarrow C'XB'=180^\circ\Rightarrow C',X,B'[/tex] лежат на една права.
[tex]\triangle BXQ: \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha=\frac{5}{7}=\frac{BQ}{BX}=\frac{BC}{2BX}\Rightarrow BX=\frac{7}{2}\Rightarrow B'C'=7[/tex]


[tex]\triangle ABC\sim \triangle AC'B'\Rightarrow AB'=\frac{AC\cdot B'C'}{BC}=\frac{49}{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow AK=\frac{3}{2}AB'=\frac{147}{10}[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=5JbX5q08kJI

Блатантно копие на решението на автора на задачата Allen Liu

Задача 10
https://s3.amazonaws.com/hmmt-archive/f ... utions.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=5JbX5q08kJI