Две задачи от КС

[Гост]

Благодаря предварително.

Untitled.png (27.16 KiB) Прегледано 451 пъти

[Петър Евгениев]

[tex]2017^\circ=5.360^\circ+217^\circ \Rightarrow sin2017^\circ=sin217^\circ <0(217^\circ \in III \Rightarrow sin (III кв)< 0)[/tex]
[tex]\Rightarrow sin2017^\circ <0[/tex]
[tex]a=sin37^\circ >0[/tex]
[tex]2a=2.sin37^\circ >0 - не[/tex]
[tex]\sqrt{1-a^{2}}>0 - не[/tex]
[tex]\sqrt{3}a>0[/tex]
От отговорите само [tex]-a<0 \Rightarrow sin2017^\circ=-a[/tex]

[123a]

За 25 задача нека първо вземем генералния случай, в който не ни е дадена дължината на $AB$

Понеже имаме ъгъл $30$[tex]^\circ=>AB=2AC[/tex]

Нека означим $AC=x$ и понеже $AT=AC=x=>AB=2x=>BT=x$- т.Т- среда на $AB=>CT=x$

$\triangle$ $BTC$ e равнобедрен $=>$ $\angle$ $BTC=120^\circ$. Но понеже $CQ$ е диаметър на окръжността $\angle$ $CTQ=90^\circ$ $=>$ $\angle$ $QTC=\angle TBQ= 30^\circ$ и $\triangle$ $BTQ$ е равнобедрен.

От Питагорова теорема намираме, че $BC=x\sqrt{3}$ , а от косинусова теорема за $\triangle TBQ$ намираме, че $BQ=\frac{x\sqrt{3}}{3}=>CQ=BC-BQ= x\sqrt{3}-\frac{x\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}x}{3}$

Да разгледаме $\triangle AQC$- ясно е, че е правоъгълен.

От Питагорова теорема намираме, че $AQ^2=CQ^2+AC^2=>AQ=\frac{x\sqrt{21}}{3}$

Понеже $CQ$ е диаметър $=>CP\bot AQ$
Нека сега да изразим лицето на този триъгълник по два различни начина и да приравним

$AC.CQ=CP.AQ=>CP=CP=\frac{x.2\sqrt{7}}{7}$

От П.Т.за $\triangle CPQ$ намираме,че $PQ=\frac{x.4\sqrt{21}}{21}$

Сега ни остана да се върнем горе, където въведохме х и знаем, че $AB=2x$

В нашия случай $AB=2x=\sqrt{21}$ $=>x= \frac{\sqrt{21}}{2}$

Сега се връщаме в $PQ=\frac{x.4\sqrt{21}}{21}$ и заместваме

$PQ=\frac{4.\sqrt{21}}{21}.\frac{\sqrt{21}}{2}=\frac{4.21}{21.2}=>PQ=2$ ако не съм оплескал сметките някъде

[S.B.]

Без заглавие (30).png (244.47 KiB) Прегледано 431 пъти

От $\triangle ABC : \angle ABC = 30^\circ \Rightarrow AC = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{21}}{2}$
Окръжността е вписана в $\angle BAC \Rightarrow AC = AT = \frac{\sqrt{21}}{2}$ също така $AO$ е ъглополовяща;
$\triangle AOC $ е правоъгълен и [tex]\angle CAO = 30^\circ , CO = r,AO = 2r , AC = \frac{\sqrt{21}}{2}[/tex] По Питагор : [tex]4r^{2} = r^{2} + \frac{21}{4} \Rightarrow r = \frac{\sqrt{7}}{2}[/tex]
$\triangle AOB$ е равнобедрен ( при основата ъглите са раВни на по $30^\circ$) и $AO = OB = 2r ,OQ = r \Rightarrow BQ = r = \frac{\sqrt{7}}{2}$
За $\triangle ABQ $ прилагам косинусова теорема: $AQ^{2} = AB^{2} + BQ^{2} - 2.AB.BQ.cos30^\circ \Leftrightarrow $
$AQ^{2} = 21 + \frac{7}{4} - 2\sqrt{21}.\frac{\sqrt{7}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{49}{4} \Rightarrow AQ = \frac{7}{2}$
$AT^{2} = AP.AQ \Rightarrow \frac{21}{4} = AP. \frac{7}{2}$ ,$ AP = \frac{3}{2}$, $PQ = AQ - AP = \frac{7}{2} - \frac{3}{2} = \frac{4}{2}$ или $PQ = 2$

[S.B.]

Понеже имаме ъгъл $30$[tex]^\circ=>AC=2AB[/tex]

Извинявам се,но $AC = \frac{AB}{2}$ ,а не $AC = 2.AB$ (все пак $AC$ е катет,а $AB$ хипотенуза)

[123a]

Понеже имаме ъгъл $30$[tex]^\circ=>AC=2AB[/tex]

Извинявам се,но $AC = \frac{AB}{2}$ ,а не $AC = 2.AB$ (все пак $AC$ е катет,а $AB$ хипотенуза)

Разбира се, че е така. Проспана работа

[Гост]

Защо AO e ъглополовяща?

[123a]

Защо AO e ъглополовяща?

Защото [tex]\frac{AC}{AB}=\frac{CO}{OB}[/tex]

[S.B.]

Защо AO e ъглополовяща?

Защото окръжността е вписана в [tex]\angle CAB[/tex] , а ъглополовящата е геометричното място на точки,които са центрове на вписаните в даден ъгъл окръжности.

[Гост]

[tex]2017^\circ=5.360^\circ+217^\circ \Rightarrow sin2017^\circ=sin217^\circ <0(217^\circ \in III \Rightarrow sin (III кв)< 0)[/tex]
[tex]\Rightarrow sin2017^\circ <0[/tex]
[tex]a=sin37^\circ >0[/tex]
[tex]2a=2.sin37^\circ >0 - не[/tex]
[tex]\sqrt{1-a^{2}}>0 - не[/tex]
[tex]\sqrt{3}a>0[/tex]
От отговорите само [tex]-a<0 \Rightarrow sin2017^\circ=-a[/tex]

ако немаше отгов. ко праим?

[Петър Евгениев]

[tex]2017^\circ=5.360^\circ+217^\circ \Rightarrow sin2017^\circ=sin217^\circ <0(217^\circ \in III \Rightarrow sin (III кв)< 0)[/tex]
[tex]\Rightarrow sin2017^\circ <0[/tex]
[tex]a=sin37^\circ >0[/tex]
[tex]2a=2.sin37^\circ >0 - не[/tex]
[tex]\sqrt{1-a^{2}}>0 - не[/tex]
[tex]\sqrt{3}a>0[/tex]
От отговорите само [tex]-a<0 \Rightarrow sin2017^\circ=-a[/tex]

ако немаше отгов. ко праим?

Ами шЕ измислемЕ нещо.

[tex]sin2017^\circ=sin217^\circ=sin(180^\circ-217^\circ)=-sin37^\circ=-a[/tex]