Израз

[Гост]

Изчисляване на израз с комплексни числа:

[tex]\frac{8 - i}{8 + i}[/tex] + [tex]\frac{8 + i}{8 - i}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$\frac{8-i}{8+i}+\frac{8+i}{8-i}=\frac{(8-i)^2+(8+i)^2}{(8+i)(8-i)}=\frac{64-16i+i^2+64+16i+i^2}{64-i^2}=\frac{128+2.(-1)}{64-(-1)}=\frac{126}{65}$

Скрит текст: покажи

Интересно е да се забележи, че ако към комплексно число, чийто модул е 1 (каквото е числото $\frac{8-i}{8+i}$), прибавим неговото реципрочно, получаваме реално число. Това е така, понеже модулите им са равни (лежат на единичната окръжност в комплексната равнина), а аргументите им са противоположни и следователно имагинерните им части са с обратни знаци и равни по абсолютна стойност, така, че при събиране се унищожават.

А ето и друг начин да се докаже:

$z=\frac{a+bi}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$z+\frac{1}{z}=\frac{a+bi}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a+bi}=\frac{a^2+2abi-b^2+a^2+b^2}{\sqrt{a^2+b^2}(a+bi)}=\frac{2a(a+bi)}{\sqrt{a^2+b^2}(a+bi)}=\frac{2a}{\sqrt{a^2+b^2}}\in\mathbb{R}$