Ъгли в триъгълник

[Гост]

[tex]\triangle[/tex]ABC, BD-медиана, [tex]\angle[/tex]ABD=15[tex]^\circ[/tex], [tex]\angle[/tex]DBC=30[tex]^\circ[/tex], [tex]\angle[/tex]A=?

[Гост]

30[tex]^\circ[/tex]

[Евва]

Нека [tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BDA=165[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex],[tex]\angle[/tex]BDC=15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex] ,[tex]\angle[/tex]BCD=135[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
[tex]\alpha[/tex]=
[tex]S_{ABD }[/tex]=[tex]S_{DBC }[/tex] [ защото BD е медиана ] т.е. [tex]\frac{AD^{2}sin\alpha.sin(165^\circ-\alpha)}{2sin15^\circ}[/tex]=[tex]\frac{DC^{2}sin(15^\circ+\alpha)sin(135^\circ-\alpha)}{2sin30^\circ}[/tex]

[tex]\frac{sin\alpha.sin[ 180^\circ-(15^\circ+\alpha) ]}{sin15^\circ}[/tex]=[tex]\frac{sin(15^\circ+\alpha)sin[ 90^\circ+(45^\circ-\alpha) ]}{2sin15^\circ.cos15^\circ}[/tex]

2cos15[tex]^\circ[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]sin(15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex])=sin(15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex])cos(45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])
1 случай sin(15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex])=0 [tex]\Rightarrow[/tex] 15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex]=165[tex]^\circ[/tex] (отпада,защото [tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]>180[tex]^\circ[/tex])
2 случай sin(15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex])[tex]\ne[/tex]0 ,тогава 2[tex]\sqrt{\frac{1+cos30^\circ}{2}}[/tex].sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex].[tex]\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex](cos[tex]\alpha[/tex]+sin[tex]\alpha[/tex])

[tex]\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{sin\alpha+cos\alpha}{\sqrt{2}\sqrt{2}}[/tex]

Скрит текст: покажи

Преобразуваме радикала.

[tex]\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{sin\alpha+cos\alpha}{\sqrt{2}}[/tex]

[tex]\sqrt{3}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]+sin[tex]\alpha[/tex]=sin[tex]\alpha[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex] |на втора степен

3[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] т.е.3[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=1-[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]

[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\pm[/tex][tex]\frac{1}{2}[/tex]

-[tex]\frac{1}{2}[/tex] отпада ,защото [tex]\alpha[/tex]<180[tex]^\circ[/tex]

sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]