Лица на триъгълници

[Гост]

[tex]\triangle ABC[/tex] с лице [tex]S[/tex], [tex]A_1\in BC, B_1\in AC, C_1\in AB, AA_1\cap BB_1=D,AA_1\cap CC_1=F,BB_1\cap CC_1=E, AB_1/B_1C=m,BC_1/C_1A=n,CA_1/A_1B=k[/tex]. Да се намери:
а) лицето на [tex]\triangle AFC[/tex];
б) лицето на [tex]\triangle DEF[/tex];
в) лицето на [tex]\triangle A_1C_1B[/tex];
г) лицето на [tex]\triangle A_1B_1C[/tex];
д) лицето на [tex]\triangle B_1C_1A[/tex];
е) лицето на [tex]\triangle A_1B_1C_1[/tex].

[Гост]

Хитрецо, не пробутвай задачи с чевиани и Т. на Раус като домашна за 12 клас!

[Гост]

Хитрецо, не пробутвай задачи с чевиани и Т. на Раус като домашна за 12 клас!

Или
Routh's theorem

[KOPMOPAH]

Лице на триъгълник.png (11.51 KiB) Прегледано 232 пъти

В случай, че някой иска да провери Теоремата на Раут (за лицето на $\triangle DEF$)

[KOPMOPAH]

...в) лицето на [tex]\triangle A_1C_1B[/tex]...

... можем да намерим така:

Триъгълниците $\triangle A_1C_1B$ и $\triangle CC_1B$ имат еднакви височини, следователно лицата им се отнасят, както основите $$S_{ A_1C_1B}:S_{CC_1B} ={a \over {k+1}}:{a}\Rightarrow S_{ A_1C_1B}={1 \over {k+1}}S_{CC_1B}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
В същото време триъгълниците $\triangle ABC$ и $\triangle CC_1B$ също имат еднакви височини и лицата им се отнасят, както основите $$S_{CC_1B}:S_{ ABC} ={nc \over {n+1}}:{c}\Rightarrow S_{ CC_1B}={n \over {n+1}}S_{ABC}={n \over {n+1}}S~~~~~~~~(2)$$
От $(1)$ и $(2)$ получаваме $$S_{ A_1C_1B}={1 \over {k+1}}{n \over {n+1}}S={n \over {(k+1)(n+1)}}S~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$
По същия начин за лицата на $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle AB_1C_1$ получаваме $$S_{ A_1B_1C}={1 \over {m+1}}{k \over {k+1}}S={k \over {(k+1)(m+1)}}S~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$
$$S_{ AB_1C_1}={1 \over {n+1}}{m \over {m+1}}S={m \over {(m+1)(n+1)}}S~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)$$
Така решихме подусловия г) и д)

А колко ...

...е) лицето на [tex]\triangle A_1B_1C_1[/tex]...

може да бъде намерено, като от лицето $S$ бъдат извадени изразите $(3)$, $(4)$ и $(5)$ и след преработка се получава $$S_{\triangle A_1B_1C_1}={{kmn+1} \over {(k+1)(m+1)(n+1)}}$$

[Гост]

a) [tex]\frac{k}{kn+k+a}\cdot S[/tex]

б) [tex]\frac{(kmn-1)^{2}}{(km+k+1)(mn+m+1)(kn+n+1)}\cdot S[/tex]

[Гост]

*a) [tex]\frac{k}{kn+k+1}\cdot S[/tex]