Трапец

[Гост]

Даден е равнобедреният трапец ABCD, който е вписан в окръжност и AB е диаметъра на тази окръжност, ако височината CH=8, а бедрото е 10. Намерете радиуса тази окръжност.

[Davids]

Стандартни означения. Търсим $R = \frac{a}{2}$. По Питагорова теорема намираме $HB = 6 = \frac{a - b}{2} \Rightarrow a - b = 12 \Rightarrow b = a - 12$. От това, че $АB$ е диаметър, следва, че $\triangle ABC$ е правоъгълен, т.е. можем да приложим питагорова теорема, според която $d^2 + 10^2 = a^2$. Паралелно с това прилагаме и питагорова теорема за $\triangle AHC \Rightarrow (a - \frac{a - b}{2})^2 + 8^2 = d^2 = (a - 6)^2 + 8^2$. Заместваме горе и получаваме:
$(a - 6)^2 + 8^2 + 10^2 = a^2$
$\cancel{a^2} - 12a + 36 + 64 + 100 = \cancel{a^2}$
$12a = 200$
$\Rightarrow a = \frac{50}{3}$
$\Rightarrow R = \frac{a}{2} = \frac{25}{3}$

[Гост]

25/3

[Петър Евгениев]

Даден е равнобедреният трапец ABCD, който е вписан в окръжност и AB е диаметъра на тази окръжност, ако височината CH=8, а бедрото е 10. Намерете радиуса тази окръжност.

От Питагорова теорема за [tex]\triangle BHC \rightarrow BH=6[/tex]
После [tex]OH=OB-6=R-6[/tex] и построяваш [tex]OC=R[/tex]
Питагорова теорема [tex]\triangle OHC \rightarrow R=\frac{25}{3}[/tex]

Untitled.png (26.8 KiB) Прегледано 224 пъти

[Евва]

(2 начин ) Означаваме [tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]САВ=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]
R=AB=?

[tex]\triangle[/tex]НВС-правоъгълен sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{8}{10}[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\sqrt{1-\frac{16}{25}}[/tex] ; cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex]

( sin T -[tex]\triangle[/tex]АВС ) [tex]\frac{BC}{sin(90^\circ-\beta)}[/tex]=2R

[tex]\frac{10}{cos\beta}[/tex]=2R [tex]\Leftrightarrow[/tex] R=[tex]\frac{5}{\frac{3}{5}}[/tex]

R=[tex]\frac{25}{3}[/tex]