Колко учебни програми?

[Гост]

Учениците от един клас на едно училище изучават 9 различни предмета. По колко начина може да се състави учебна програма за един учебен ден от 5 различни учебни часа, в който да се изучават 5 различни предмета, при условие, че история и география не може да се изучават в един ден.
Отг. 10920

[Добромир Глухаров]

Всички възможни разпределяния (съединения без повторения) на 9 предмета в 5 часа са $V_9^5$. От тях трябва да извадим случаите, в които се съдържат "история" и "география" - два конкретни предмета. "История" може да заеме едно от петте места по 5 начина, "география" - едно от останалите 4 места по 4 начина за всеки избор на място за "история" - общо 5.4 начина. Във всеки от тези 20 случая останалите 3 учебни часа се заемат от 3 от останалите 9-2=7 предмета по $V_7^3$ начина.

Окончателно получаваме $V_9^5-5.4.V_7^3=9.8.7.6.5-5.4.7.6.5=4.(9.2-5).7.6.5=4.13.7.3.10=40.13.21=40.273=10920$

[Гост]

Всички възможни разпределяния (съединения без повторения) на 9 предмета в 5 часа са $V_9^5$. От тях трябва да извадим случаите, в които се съдържат "история" и "география" - два конкретни предмета. "История" може да заеме едно от петте места по 5 начина, "география" - едно от останалите 4 места по 4 начина за всеки избор на място за "история" - общо 5.4 начина. Във всеки от тези 20 случая останалите 3 учебни часа се заемат от 3 от останалите 9-2=7 предмета по $V_7^3$ начина.

Окончателно получаваме $V_9^5-5.4.V_7^3=9.8.7.6.5-5.4.7.6.5=4.(9.2-5).7.6.5=4.13.7.3.10=40.13.21=40.273=10920$

Благодаря Ви за ясното решение.

[Гост]

Още една задачка, ако имате желание помогнете.
От 10 ученици и 6 ученички трябва да се сформират 4 смесени двойки. По колко начина може да стане това?
Отг.75600

[Davids]

Първо ще намерим колко са възможните комбинации от две групи от по 4 души от всеки пол. Те са $G^4_{10}.G^4_6 = 3150$. За всяка двойка такива групи ще приемем подредбата от единия пол за константна, а за да вземем всички възможни подредби в смесени двойки, ще умножим по вариациите в другия пол. Така трябва полученото число да умножим общо по 4! = 24, което ни дава и отговора.

[Гост]

Първо ще намерим колко са възможните комбинации от две групи от по 4 души от всеки пол. Те са $G^4_{10}.G^4_6 = 3150$. За всяка двойка такива групи ще приемем подредбата от единия пол за константна, а за да вземем всички възможни подредби в смесени двойки, ще умножим по вариациите в другия пол. Така трябва полученото число да умножим общо по 4! = 24, което ни дава и отговора.

Благодаря за отговора! Какво е [tex]G_{n}^{k}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Избираме четворка ученици по $C_{10}^4$ начина и съответваща четворка ученички по $C_6^4$ начина. Общо съответствията са $C_{10}^4.C_6^4$, като за всяко от тях конкретното съчетаване по двойки става по $4!$ начина, понеже това е като разпределяне на 4 номерирани предмета в четири позиции.

Общо $C_{10}^4.C_6^4.4!=\frac{10.9.8.7}{4!}\cdot\frac{6.5.4.3}{4!}\cdot4!=5040.6.5/2=75600$

$C_n^k$ са комбинации n елемента k-ти клас. $C_n^k=\frac{V_n^k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$