Многостени

[Гост]

1 зад. Основата на пирамида е ромб с остър ъгъл [tex]\alpha[/tex] . Околните стени на пирамидата са еднакви равнобедрени триъгълници.
А) Док., че пирамидата има само една двойка взаимно перпендикулярни ръбове.
Б) Док., че всички околни стени сключват с основата на пирамидата равни двустенни ъгли.

2 зад. Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида с височина h и ъгъл между два съседни околни ръба 2 [tex]\alpha[/tex]

3 зад. Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Точка Н е средата на ВС, N - на CD, а О е център на куба. Намерете обема на куба, ако разстоянието от О до равнината MNC1 e m.

[Гост]

2. [tex]\frac{4h^{3}\cdot\sin^{2}\alpha}{3(1-2\sin^{2}\alpha)}[/tex]

[Гост]

3. [tex]8m^{3}[/tex]

[Евва]

2 зад. Дадено : ABCDV-правилна четириъгълна пирамида,h-височина,[tex]\angle[/tex]BVC=2[tex]\alpha[/tex] ,нека т.Н е пресечната т.на AC и BD,т.Т е среда на ВС.
Означаваме осн.ръбове-а , околните ръбове-l .
V=

Скрит текст: покажи

Първо ще намерим а=?

( [tex]\triangle[/tex]BTV-правоъгълен ) sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{\frac{a}{2}}{l}[/tex] т.е. l=[tex]\frac{a}{2sin\alpha}[/tex] (1)

( [tex]\triangle[/tex]HBV-правоъгълен ) [tex]h^{2}[/tex]+[tex](\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}[/tex]=[tex]l^{2}[/tex] (2)

Скрит текст: покажи

Замести (1) в (2) .Само едно неизвестно-а.

Решаваме системата от двете ур-я и получаваме а=[tex]\frac{2h.sin\alpha}{\sqrt{1-2sin^{2}\alpha}}[/tex]

V=[tex]\frac{Bh}{3}[/tex]=[tex]\frac{4h^{2}.sin^{2}\alpha.h}{3(1-2sin^{2}\alpha)}[/tex]

V=[tex]\frac{4h^{3}sin^{2}\alpha}{3(1-2sin^{2}\alpha)}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (39).png (312.86 KiB) Прегледано 423 пъти

3 зад. Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Точка Н е средата на ВС, N - на CD, а О е център на куба. Намерете обема на куба, ако разстоянието от О до равнината MNC1 e m.

Нека дължината на ръба на куба е $a$.Ще изразя $a$ чрез $m$
От.[tex]\triangle OKM[/tex] по Питагор : [tex]ОК^{2} = ОМ^{2} + МК^{2} = (\frac{a}{2})^{2} + (\frac{a\sqrt{2}}{4})^{2} = \frac{3a^{2}}{8} , OK = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}[/tex]
От [tex]\triangle KCC_{1 }[/tex] по Питагор :[tex]KC_{1 }^{2} = CC_{1 }^{2} + KC^{2} = a^{2} + (\frac{a\sqrt{2}}{4})^{2} = \frac{9a^{2}}{8} , KC_{1 } = \frac{3a}{2\sqrt{2}}[/tex]
[tex]OC_{1 } = \frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] ($\frac{1}{2} $ от телесния диагонал $AC_{1 }$)
За $\triangle KOC_{1 }$ прилагам косинусова теорема: [tex]cos\beta =\displaystyle \frac{KC_{1 }^{2} - KO^{2} - OC_{1 }^{2}}{- 2 .KO.OC_{1 }} =\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{9x^{2}}{8} - \displaystyle \frac{3a^{2}}{8} -\displaystyle \frac{3a^{2}}{2}}{-\displaystyle \frac{3a^{2}}{2}} = \frac{1}{2}[/tex]
$cos\beta = \frac{1}{2} \Rightarrow \beta = 60^\circ$
$S_{\triangle KOC_{1 } } = \frac{OK.OC_{1 }.sin\beta}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{16}$
$S_{\triangle KOC_{1 }} = \frac{KC_{1 }.OE}{2} = \frac{3am}{4\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{16} = \frac{3am}{4\sqrt{2}} \Rightarrow a = \frac{2m\sqrt{6}}{3}$
$V = a^{3} = \frac{16m^{3}\sqrt{6}}{9}$

[Knowledge Greedy]

Стори ми се много интересна 1.А)

1 зад. Основата на пирамида е ромб с остър ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Околните стени на пирамидата са еднакви равнобедрени триъгълници.
А) Док., че пирамидата има само една двойка взаимно перпендикулярни ръбове.
Б) Док., че всички околни стени сключват с основата на пирамидата равни двустенни ъгли.

Красив факт.png (6.69 KiB) Прегледано 416 пъти

Нека [tex]MO=h[/tex] е височината на пирамидата, като точка [tex]O[/tex] е центърът на ромба.
Като държим сметка за точността на означенията на върховете в съответните еднакви триъгълници, възможностите са две.
[tex]\triangle ABM \cong \triangle ADM \cong \triangle CBM \cong \triangle CDM[/tex]
- като основи на еднаквите равнобедрени триъгълници са [tex]BM[/tex] и [tex]DM[/tex]
или
[tex]\triangle ABM \cong \triangle ADM \cong \triangle CBM \cong \triangle CDM[/tex]
- като основи на еднаквите равнобедрени триъгълници са [tex]AM[/tex] и [tex]CM[/tex]
(Третата възможност - основните ръбове - страните на ромба да са основи на еднаквите равнобедрени триъгълници отпада, тъй като околните ръбове няма как да бъдат равни като бедра, защото иначе равните им ортогонални проекции (върху основата на пирамидата) ще са неравни части от различните диагонали на ромба.)
Б.о.о. разглеждаме [tex]BM=DM=b[/tex] като основи. Бедрата са [tex]AB=BC=CD=DA=a[/tex]

Намираме околния раб [tex]b[/tex] от правоъгълния триъгълник [tex]\triangle BOM[/tex] с теорема на Питагор
[tex]b^2=h^2-BO^2 \,\ \Leftrightarrow \,\ b^2=h^2- \left (asin\frac{\alpha}{2} \right )^2[/tex]
Изключваме [tex]h^2[/tex], като използваме негово изразяване от друг правоъгълен триъгълник - [tex]\triangle AOM[/tex]
[tex]h^2=a^2-AO^2 \,\ \Leftrightarrow \,\ h^2=a^2- \left (a cos\frac{\alpha}{2} \right )^2[/tex]
В резултат
[tex]b^2=2a^2sin^2\frac{\alpha}{2} \,\ (1)[/tex]
Изразяваме по косинусова теорема за [tex]\triangle ABD[/tex] квадрата на диагонала [tex]BD^2[/tex]
[tex]BD^2=2a^2-2a^2cos\alpha \,\ (2)[/tex]
Доказваме, че [tex]\triangle BDM[/tex] е правоъгълен, проверявайки питагоровото равенството [tex]BD^2=BM^2+DM^2[/tex], за което използваме резултатите [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex], и формулата [tex]sin^2\frac{\alpha}{2} =\frac{1-cos\alpha}{2}[/tex] .
Оказа се, че единствената възможност два ръба на дадената пирамида да са взаимно перпендикуларни е тази, в която те са в "малцинство" - и имат обща точка върха [tex]M[/tex] на пирамидата.
[tex]BM \bot DM[/tex]

[Гост]

Без заглавие (39).png

3 зад. Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Точка Н е средата на ВС, N - на CD, а О е център на куба. Намерете обема на куба, ако разстоянието от О до равнината MNC1 e m.

Нека дължината на ръба на куба е $a$.Ще изразя $a$ чрез $m$
От.[tex]\triangle OKM[/tex] по Питагор : [tex]ОК^{2} = ОМ^{2} + МК^{2} = (\frac{a}{2})^{2} + (\frac{a\sqrt{2}}{4})^{2} = \frac{3a^{2}}{8} , OK = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}[/tex]
От [tex]\triangle KCC_{1 }[/tex] по Питагор :[tex]KC_{1 }^{2} = CC_{1 }^{2} + KC^{2} = a^{2} + (\frac{a\sqrt{2}}{4})^{2} = \frac{9a^{2}}{8} , KC_{1 } = \frac{3a}{2\sqrt{2}}[/tex]
[tex]OC_{1 } = \frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] ($\frac{1}{2} $ от телесния диагонал $AC_{1 }$)
За $\triangle KOC_{1 }$ прилагам косинусова теорема: [tex]cos\beta =\displaystyle \frac{KC_{1 }^{2} - KO^{2} - OC_{1 }^{2}}{- 2 .KO.OC_{1 }} =\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{9x^{2}}{8} - \displaystyle \frac{3a^{2}}{8} -\displaystyle \frac{3a^{2}}{2}}{-\displaystyle \frac{3a^{2}}{2}} = \frac{1}{2}[/tex]
$cos\beta = \frac{1}{2} \Rightarrow \beta = 60^\circ$
$S_{\triangle KOC_{1 } } = \frac{OK.OC_{1 }.sin\beta}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{16}$
$S_{\triangle KOC_{1 }} = \frac{KC_{1 }.OE}{2} = \frac{3am}{4\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{16} = \frac{3am}{4\sqrt{2}} \Rightarrow a = \frac{2m\sqrt{6}}{3}$
$V = a^{3} = \frac{16m^{3}\sqrt{6}}{9}$

върни се и виж къде ти е грешката, [tex]8m^{3}[/tex] е. Интересното тук е, че може да се докаже (като отделна задача), че [tex]E[/tex] не е случайна точка-това е пресечницата на [tex]C_1K[/tex] и [tex]CM_1[/tex], където [tex]M_1[/tex] е центърът на [tex]A_1B_1C_1D_1[/tex]

[S.B.]

върни се и виж къде ти е грешката, [tex]8m^{3}[/tex] е. Интересното тук е, че може да се докаже (като отделна задача), че [tex]E[/tex] не е случайна точка-това е пресечницата на [tex]C_1K[/tex] и [tex]CM_1[/tex], където [tex]M_1[/tex] е центърът на [tex]A_1B_1C_1D_1[/tex]

Докажи си твърденията!

[S.B.]

За $\triangle KOC_{1 }$ прилагам косинусова теорема: [tex]cos\beta =\displaystyle \frac{KC_{1 }^{2} - KO^{2} - OC_{1 }^{2}}{- 2 .KO.OC_{1 }} =\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{9x^{2}}{8} - \displaystyle \frac{3a^{2}}{8} -\displaystyle \frac{3a^{2}}{2}}{-\displaystyle \frac{3a^{2}}{2}} = \frac{1}{2}[/tex]
$cos\beta = \frac{1}{2} \Rightarrow \beta = 60^\circ$
$S_{\triangle KOC_{1 } } = \frac{OK.OC_{1 }.sin\beta}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{16}$
$S_{\triangle KOC_{1 }} = \frac{KC_{1 }.OE}{2} = \frac{3am}{4\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{16} = \frac{3am}{4\sqrt{2}} \Rightarrow a = \frac{2m\sqrt{6}}{3}$
$V = a^{3} = \frac{16m^{3}\sqrt{6}}{9}$

Открих си грешката:
[tex]cos\beta = \displaystyle \frac{KC_{1 }^{2} - KO^{2} - OC_{1 }^{2}}{- 2.KO.OC_{1 }} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{9a^{2}}{8} - \displaystyle \frac{3a^{2}}{8} - \displaystyle \frac{6a^{2}}{8}}{- \displaystyle \frac{3a^{2}}{2\sqrt{2}}} = 0[/tex]
$cos\beta = 0 \Rightarrow \beta = 90^\circ$

[tex]\begin{cases} S_{\triangle KOC_{1 } } = \displaystyle \frac{3a^{2}}{8\sqrt{2}} \\ S_{KOC_{1 } } = \displaystyle \frac{3am}{4\sqrt{2}}\end{cases}[/tex]
$\Rightarrow a = 2m ; V = a^{3} = 8m^{3}$

Скрит текст: покажи

Може да се докаже,че т.$Е$ е медицентър в $\triangle HNC_{1 }$,но не виждам за какво ми е необходимо.Извинявам Ви се