Геометрична задача ДЗИ

[Гост]

В правоъгълен триъгълник ABC ([tex]\angle C=90^\circ[/tex]) ъглополовящата AL([tex]L\in BC[/tex]) дели всиочината CD ([tex]D\in AB[/tex]) на отсечки CM=5 и MD=4. Намерете дължината на катета AC.
Отг.15

[Евва]

АС=х=?
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ADC-правоъгълен

[tex]\begin{array}{|l} sin\alpha=\frac{CD}{AC} \\ \frac{CM}{MD}=\frac{AC}{AD} [ AM-ъглополовяща ]\\cos\alpha=\frac{AD}{AC}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} sin\alpha=\frac{9}{x} \\ \frac{5}{4} =\frac{x}{AD}\\cos\alpha=\frac{AD}{x}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} sin\alpha=\frac{9}{x} (1)\\ AD=\frac{4x}{5}\\cos\alpha=\frac{\frac{4x}{5}}{x}=\frac{4}{5}\end{array}[/tex]

Щом cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] , то sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex] ( към (1) )

[tex]\frac{3}{5}[/tex]=[tex]\frac{9}{х}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] х=15

[Евва]

Ако съставим с-ма от 2 уравнения ще си улесним живота .
[tex]\begin{array}{|l} \frac{5}{4}=\frac{x}{AD}\\ 9^{2}+AD^{2}=x^{2} [ Питагор ]\end{array}[/tex]

... х=15