Геометрична задача ДЗИ 2

[Гост]

В триъгълник ABC BL е ъглополовяща на ъгъл ABC, LM е медианата в триъгълник ABL, AL=BL=[tex]2\sqrt{3}[/tex], [tex]LC=\sqrt{3}[/tex] и [tex]\triangle ALM \sim \triangle ABC[/tex]. BC=?
Отг. 3

[Евва]

ВС=х=?
AL=BL [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABL е равнобедрен (1) LM[tex]\bot[/tex]AB , [tex]\angle[/tex]LAB=[tex]\angle[/tex]ABL=[tex]\angle[/tex]LBC=[tex]\beta[/tex]

(BL-ъглополовяща) [tex]\frac{CL}{AL}[/tex]=[tex]\frac{BC}{AB}[/tex] т.е. [tex]\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}[/tex]=[tex]\frac{х}{АВ}[/tex] ; АВ=2х от (1)[tex]\Rightarrow[/tex] АМ=ВМ=х (2)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]MBL и [tex]\triangle[/tex]BCL
1.BL- обща
2.[tex]\angle[/tex]MBL=[tex]\angle[/tex]CBL
3.BM=BC=x [tex]\Rightarrow[/tex] по 1 признак [tex]\triangle[/tex]MBL[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]BCL [tex]\Rightarrow[/tex]
ML=CL=[tex]\sqrt{3}[/tex] и [tex]\angle[/tex]LMB=[tex]\angle[/tex]BCL=90[tex]^\circ[/tex] (3)

ЗА [tex]\triangle[/tex]LBC открихме,че е правоъгълен с катет CL=[tex]\sqrt{3}[/tex] и хипотенуза BL=2[tex]\sqrt{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]LBC=30[tex]^\circ[/tex] ; Тогава cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{BC}{BL}[/tex] ;cos30[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{x}{2\sqrt{3}}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]=[tex]\frac{x}{2\sqrt{3}}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] x=3