Ортоцентър, Медицентрове, Лица

[Гост]

[tex]\triangle ABC[/tex]-остроъгълен с ортоцентър [tex]H[/tex]. [tex]G_1,G_2,G_3[/tex] са медицентровете съответно на [tex]\triangle HBC,\triangle HAC,\triangle HAB[/tex], като лицето на [tex]\triangle G_1G_2G_3[/tex] е 7. Да се намери лицето на [tex]\triangle ABC[/tex].

[Гост]

[Nathi123]

Нека СР = РН [tex]\Rightarrow AP-[/tex] медиана за [tex]\triangle AHC\Rightarrow G_{2 }\in AP[/tex] аналогично [tex]G_{1 }\in BP[/tex] и
[tex]\frac{PG_{2 }}{PA}=\frac{PG_{1 }}{PB}\Rightarrow G_{1 }G_{2 }||AB[/tex] (по Т обратна на Т на Талес )
Тогава от Т на Талес [tex]\Rightarrow \frac{PG_{2 }}{PA}=\frac{G_{1 }G_{2 }}{AB}=\frac{1}{3} .[/tex] Аналогично се доказва ,че
[tex]\frac{G_{1 }G_{3 }}{AC}=\frac{G_{3 }G_{2 }}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow \triangle G_{1 }G_{2 }G_{3 }\approx \triangle ABC[/tex] ( по ІІІ-ти пр)
[tex]\Rightarrow \frac{S_{\triangle G_{1 }G_{2 }G_{3 }}}{S_{\triangle ABC }}=(\frac{1}{3})^{2} \Rightarrow S_{ \triangle ABC}=9.7=63 .[/tex]