Задача ДЗИ

[Гост]

През върха C на остроъгълния триъгълник ABC е построена допирателната кум описаната около триъгълника окръжност. Разстоянията от върховете A и B до тази допирателна са съответно 4 и 9. Да се намери височината на триъгълника от върха C.

[S.B.]

Без заглавие (69).png (313.27 KiB) Прегледано 263 пъти

През върха C на остроъгълния триъгълник ABC е построена допирателната кум описаната около триъгълника окръжност. Разстоянията от върховете A и B до тази допирателна са съответно 4 и 9. Да се намери височината на триъгълника от върха C.

[tex]EF[/tex] е допирателна в т.$C$ ; $AE\bot EF,AE = 4 , BF\bot EF ,BF = 9$
$CH \bot AB ,CH = h , AC = b, BC = a$
$\angle CAB = \alpha = \frac{д.AB}{2}$ - вписан , $\angle FCB = \alpha = \frac{д.AB}{2}$ - периферен
$\triangle BFC \approx \triangle AHC \rightarrow \frac{FB}{CH} = \frac{BC}{AC} \Leftrightarrow \frac{9}{h} = \frac{a}{b} \Rightarrow h = \frac{9b}{a}$
$\angle ABC = \beta = \frac{д.AC}{2}$ - вписан , $\angle ACE = \beta = \frac{д.AC}{2}$ - периферен
$\triangle AEC\approx \triangle CHB \rightarrow \frac{AE}{HC} = \frac{AC}{BC} \Leftrightarrow \frac{4}{h} = \frac{b}{a} \Rightarrow h = \frac{4a}{b}$
$\begin{cases} h =\frac{9b}{a}\\ h = \frac{4a}{b} \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{9b}{a} = \displaystyle\frac{4a}{b} \Leftrightarrow 9b^{2} - 4a^{2} = 0 \Leftrightarrow (3b + 2a)(3b - 2a) = 0$
$3b + 2a \ne 0 $ остава $3b - 2a =0 \Leftrightarrow 3b = 2a \Rightarrow a = \frac{3b}{2}$
$h =\displaystyle\frac{4a}{b} = \displaystyle\frac{4\displaystyle\frac{3b}{2}}{b} = 6$
$$h = 6$$