Окръжност вписана в триъгълник

[Гост]

В триъгълник ABC е вписана окръжност, която се допира до страната BC в точка D. Ако AD=DB, BC=9 [tex]cos\angle ABC= \frac{2}{3}[/tex], да се намери AB.

[Davids]

Стандартни означения, като $AD = DB = x$. По определението за косинус имаме $\frac{c}{2x} = cos\beta = \frac{2}{3} \Rightarrow c = \frac{4}{3}x$.
Нека другите две допирни точки да са $M \in AC$ и $N \in AB$. Тогава $CM = CD = 9 - x$, $NB = BD = x$ и $AN = AM = c - x = \frac{x}{3}$. Освен това $\angle ADC = 2\beta$, понеже е външен за $\triangle ABD$.
Правим косинусова теорема за $\triangle ADC$:
$(9 - \frac{2x}{3})^2 = (9 - x)^2 + x^2 - 2x(9-x)cos2\beta$

Изчисляваме $cos2\beta = 2cos^2\beta - 1 = 2.\frac{4}{9} - 1 = -\frac{1}{9}$
$81 - \frac{2.9.2x}{9} + \frac{4x^2}{9} = 81 - 18x + x^2 + x^2 + \frac{18x - 2x^2}{9}$
$...$
$12x(x - 6) = 0$

Единствено валидно решение е $x = 6$, откъдето $AB = c = \frac{4}{3}x = 8$.