Тъпоъгълен триъгълник

[Гост]

Даден е тъпоъгълен ABC [tex]\angle B>90^\circ[/tex] H-ортоцентър , [tex]AH=2\sqrt{3}, BH=1 , \angle ACB=30^\circ[/tex], AB=?[/tex]
Отг. [tex]\sqrt{7}{/tex]

[S.B.]

Без заглавие (49).png (244.64 KiB) Прегледано 160 пъти

Даден е тъпоъгълен ABC [tex]\angle B>90^\circ[/tex] H-ортоцентър , [tex]AH=2\sqrt{3}, BH=1 , \angle ACB=30^\circ[/tex], AB=?[/tex]
Отг. [tex]\sqrt{7}{/tex]

[tex]\triangle CB_{1 }B[/tex] - правоъгълен,[tex]\angle C = 30^\circ \Rightarrow \angle B_{1 }BC = 60^\circ[/tex] ; $\angle C_{1 }BH = 60^\circ $ - противоположен на $\angle B_{1 }BC$
$\triangle C_{1 }BH$ е правоъгълен $\Rightarrow \angle C_{1 }HB = 30^\circ ,BH = 1 \Rightarrow C_{1 }B = \frac{1}{2}$
По Питагор $C_{1 }H =\sqrt{BH^{2} - BC_{1 }^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $AC_{1 } = AH - HC_{1 } = 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\triangle ABC_{1 }$ е правоъгълен и по Питагор: $AB = \sqrt{AC_{1 }^{2} + BC_{1 }^{2}} = \sqrt{\frac{27}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7}$