Триъгълник

[Гост]

Окръжността, вписана в равнобедрен триъгълник, разделя височината към
основата му на две части, които са в отношение 1:3, считано от върха на
триъгълника. Ако основата има дължина 12 cm, дължината на бедрото е:

[Гост]

В равнобедрен трапец височината е равна на 6 cm, а диагоналите му са
взаимно перпендикулярни. Лицето на трапеца е равно на:

[Nathi123]

Триъгълник АВС,вписаната в него окръжност е k(O,r),тогава АО е ъглополовяща в триъгълник ACD;[tex]O\in CD[/tex]
( CD e перпендикулярна на АВ,тогава AD=BD=6; AB=12) и AC=BC.
Нека [tex]k\cap AC=T\Rightarrow AT=AD=6;O\in CD[/tex] .Нека CT=x[tex]\Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{CO}{OD}; (1) k\cap CD=L[/tex]
по условие [tex]\frac{CL}{LD}=\frac{1}{3}\Rightarrow CL=t;LD=3t\Rightarrow 2r=3t=LD\Rightarrow r=\frac{3t}{2}\Rightarrow[/tex]
[tex]CO=CL+LO=t+\frac{3t}{2}=\frac{5t}{2}\Rightarrow \frac{6+x}{6}=\frac{5t}{3t}\Leftrightarrow \frac{6+x}{6}=\frac{5}{3}[/tex] ( от (1) ).
[tex]\Leftrightarrow x=4\Rightarrow AC=4+6=10[/tex].

[Гост]

Окръжността, вписана в равнобедрен триъгълник, разделя височината към
основата му на две части, които са в отношение 1:3, считано от върха на
триъгълника. Ако основата има дължина 12 cm, дължината на бедрото е:

[tex]10[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (53).png (225.94 KiB) Прегледано 262 пъти

Окръжността, вписана в равнобедрен триъгълник, разделя височината към
основата му на две части, които са в отношение 1:3, считано от върха на
триъгълника. Ако основата има дължина 12 cm, дължината на бедрото е:

Още един начин на решение
[tex]\frac{CP}{PH} = \frac{1}{3} \Rightarrow CP = x,2r = 3x \Rightarrow r = \frac{3x}{2}[/tex] тогава [tex]OC = x + \frac{3x}{2} = \frac{5x}{2}[/tex]
За [tex]\triangle OCM : \displaystyle \frac{OM}{OC} = sin\alpha \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{3x}{2}}{\displaystyle\frac{5x}{2}} = \displaystyle\frac{3}{5} \Rightarrow sin\alpha = \frac{3}{5}[/tex]
За [tex]\triangle HBC : \frac{HB}{BC} = sin\alpha \Leftrightarrow \frac{6}{BC} =\frac{3}{5} \Rightarrow BC = 10[/tex]

[Nathi123]

За ABCD АВ||CD ; AD=BC ; [tex]\Rightarrow AC = BD ;AC\bot BD ; CH\bot AB[/tex] Нека АВ = х ; CD = y ; построяваме CP||BD
[tex]\Rightarrow AP=AB+BP ; BP=CD=y\Rightarrow AP=x+y ; \angle ACP=90^\circ ; AC= CP \Rightarrow \angle CAP=\angle CPA=45^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{AC}{AP}=sin45^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow AC=\frac{(x+y)\sqrt{2}}{2}[/tex].
[tex]S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC^{2}=\frac{1}{2}AP.CH \Leftrightarrow \frac{1}{2}(x+y)^{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.(x+y).6[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x+y=12\Rightarrow S_{ABCD }=\frac{1}{2}.12.6=36 =[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (54).png (190.89 KiB) Прегледано 260 пъти

В равнобедрен трапец височината е равна на 6 cm, а диагоналите му са
взаимно перпендикулярни. Лицето на трапеца е равно на:

Още един начин на решение
Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] диагонала $BD$ ,[tex]BD \rightarrow CC_{1 }[/tex]
$S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.CH $ , $S_{\triangle ACC_{1 } } = \frac{AC_{1 }.CH}{2} = \frac{AB + BC_{1 }}{2}.CH = \frac{AB + CD}{2}.CH \Rightarrow S_{ABCD } = S_{\triangle ACC_{1 } }$
[tex]\triangle AC_{1 }C[/tex] е правоъгълен ,равнобедрен с височинa,която съвпада с медианата $CH = 6 \Rightarrow АC_{1 } = 12$ ,
$S_{ACC_{1 } } = 12.6.\frac{1}{2} = 36$

[Евва]

2 зад. (3 начин)
Нека т.Н и т.М са среди на АВ и CD .Tочка О е пресечна точка на AC и BD .
МН=h=6 см., AB=a ,CD=b
[tex]S_{ABCD }[/tex]=
ABCD-равнобедрен трапец [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВО е равнобедрен и е дадено [tex]\angle[/tex]АОВ=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]ОАВ=[tex]\angle[/tex]ОАН=45[tex]^\circ[/tex] (1)
разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АНО [tex]\angle[/tex]НОА=180[tex]^\circ[/tex]-45[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]НОА=45[tex]^\circ[/tex] (2)

от (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АНО е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] АН=ОН (3)
По същия начин доказваме,че [tex]\triangle[/tex]OMD е правоъгълен и равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] DM=OM (4)
AH+DM=OH+OM

[tex]\frac{a}{2}[/tex]+[tex]\frac{b}{2}[/tex]=h [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{a+b}{2}[/tex]=h [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{a+b}{2}[/tex]=6

S=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex].h=6.6=36 [tex]см^{2}[/tex]