Лице на триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник ABC и точки M,N и P върху страните AB, BC, AC. Такива, че AM:MB=BN:NC=CP:PA=1:3. Ако лицето на триъгълника ABC е. 64, да се намери лицето на MNP.

[S.B.]

Без заглавие (11).png (255.07 KiB) Прегледано 407 пъти

Даден е триъгълник ABC и точки M,N и P върху страните AB, BC, AC. Такива, че AM:MB=BN:NC=CP:PA=1:3. Ако лицето на триъгълника ABC е. 64, да се намери лицето на MNP.

Нека $AB = c , BC = a ,AC = b$
[tex]S_{ABC } = \frac{a.b}{2}.sin \gamma = \frac{a.c}{2}.sin\beta = \frac{b.c}{2}.sin\alpha = 64 \Rightarrow a.b.sin\gamma = a.c.sin\beta = b.s.sin\alpha = 128[/tex]

[tex]S_{MBN } = \frac{1}{2}.\frac{a}{3}.\frac{2c}{3}.sin\beta = \frac{a.c}{9}.sin\beta = \frac{128}{9}[/tex]

[tex]S_{PNC } = \frac{1}{2}.\frac{2a}{3}.\frac{b}{3}.sin\gamma = \frac{a.b}{9}.sin\gamma = \frac{128}{9}[/tex]

[tex]S_{AMP } = \frac{1}{2}.\frac{c}{3}.\frac{2b}{3}.sin\alpha = \frac{b.c}{9}.sin\alpha = \frac{128}{9}[/tex]
[tex]S_{MNP } = S_{ABC } - (S_{MBN } + S_{PNC } + S_{AMP }) = 64 - 3.\frac{128}{9} = \frac{64}{3}[/tex]
$$S_{MNP } = \frac{1}{3}S_{ABC } = \frac{64}{3}$$

[KOPMOPAH]

Хубаво решение, придружено с чудесен чертеж!

Добре-2.gif (40.86 KiB) Прегледано 400 пъти

Скрит текст: покажи

Задачата не е много трудна, затова за награда - да се намери лицето на триъгълника, заключен между $AN$, $BP$ и $CM$

Триъгълник.png (172.96 KiB) Прегледано 400 пъти

[S.B.]

Без заглавие (43).png (263.01 KiB) Прегледано 331 пъти

Хубаво решение, придружено с чудесен чертеж!

Прикачения файл Добре-2.gif вече е недостъпен

Скрит текст: покажи

Задачата не е много трудна, затова за награда - да се намери лицето на триъгълника, заключен между $AN$, $BP$ и $CM$

Прикачения файл Триъгълник.png вече е недостъпен

От Теоремата на Талес за правите $AN$ и $AB$ имаме [tex]\frac{QR}{AB} = \frac{1}{2}[/tex] ,аналогично
$\frac{TR}{BC} = \frac{QT}{AC} = \frac{1}{2} \Rightarrow \triangle QRT \approx \triangle ABC$ (по трети признак) с коефициент $ k = \frac{1}{2}$
Следователно $\frac{S_{QRT }}{S_{ABC }} = k^{2} \Rightarrow S_{QRT } = 64.\frac{1}{4} = 16$

Скрит текст: покажи

Съжалявам за претрупания чертеж,но по-друг начин не можех да обоснова решението.Наистина задачата ми отне доста време,но да не забравяме,че това е задaча зададена не от който и да е ,а от нашия уважаван колега KOPMOPAH!