ВМС

[Гост]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност така, че
AB:BC:CD:DA=3:4:2:3
Ако радиусът на окръжността е 2, то лицето на ABCD е равно на:

[Davids]

Ще означим страните с $3x; 4x; 2x; 3x$ и по Хероновата формула имаме $S = \sqrt{6x.3x.4x.2x.3x} = 12x\sqrt{3x}$

Ще хванем диагонала $AC = d$ и ще изразим същото лице на четириъгълника чрез сбора на:
$S = S_{ABC} + S_{ADC}= \frac{3x.4x.d}{4R} + \frac{3x.2x.d}{4R} = \frac{9x^2d}{4}$

$\Rightarrow \frac{9x^{\cancel{2}}d}{4} = 12\cancel{x}\sqrt{3x} \Rightarrow d = \frac{16}{\sqrt{3x}}$

Сега остана да опънем две косинусови теореми за същите два триъгълника, като ще означим $\angle ABC = \beta$
$\Rightarrow d^2 = 9x^2 + 16x^2 - 2.3.4x^2cos\beta = 9x^2 + 4x^2 - 2.3.2x^2cos(180^{\circ} - \beta)$
$\Rightarrow cos\beta = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow d^2 = 17x^2$

Оттам получаваме $17x^2 = \frac{256}{3x} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{256}{51}}$

$\Rightarrow S = 12\sqrt{3x^3} = 12\sqrt{\frac{256}{17}} = \frac{192\sqrt{17}}{17}$, което е странен отговор, ама... Ако не съм объркал нещо. Иначе схващаш идеята

[pal702004]

Davids, как получи $x^5$ под радикала при изчисляване на лицето? Добър математик си, но допускаш грешки от въздуха. Разбирам, че ти предстоят изпити тази година, просто внимавай.

Скрит текст: покажи

И аз бях такъв

[Davids]

Т.нар. Херонова формула за вписан четириъгълник намерих тук, гледал съм я преди много години още и съм си запомнил, че съществува. Може би сляпото ми доверие ме е подвело, не знам... Изразете мнение.
А иначе @pal много правилно ме насочи към много ключова грешка - изкарал съм първа вместо втора степен от радикала... Ще поправя като се прибера!

[pal702004]

Известна е като формула на Брахмагупта за вписан четириъгълник

$\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$ Няма как да е произведения на 5 линейни единици заради мерността. В края на краищата лицето е в квадратни единици.

Ако една от страните е $0$ - четириъгълника се изражда в триъгълник с познатата Херонова формула

$\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-0)}$

[Davids]

Ясно... а дали да не сезираме разпространителите на грешни формули, не знам
След като установихме неточностите, да направим втори опит:
$S = 6\sqrt{2}x^2$ по формулата на Брахмагупта, за която благодаря на @pal.

По същия начин намираме отново лицето спрямо диагонала:
$S = \frac{9x^2d}{4} = 6\sqrt{2}x^2$
$\Rightarrow d = \frac{8\sqrt{2}}{3}$

Намерихме по-горе вече $cos\beta = \frac{1}{3}$

Решаваме за $x$ по едната косинусова теорема:
$d^2 = 17x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{d^2}{17} = \frac{128}{153}$

И така окончателно $S = 6\sqrt{2}.\frac{128}{153} = \frac{256\sqrt{2}}{51}$

Нещо май пак не съм доволен, ама не мога да си открия грешката... Ще преставам да се мъча

[Гост]

Вервайте на soLeMio или на ВсеВишния, все пак Папата е у нас тия дни или на Solamoja - а ако е с пари - е още по-верно!! да знаиш
не преставай да се мъчиш, Грешнико

[Евва]

Намерих х по съвсем друг начин.

И аз получих [tex]x^{2}[/tex]=[tex]\frac{128}{153}[/tex]

Защо тази формула не се учи в обикновените паралелки ?