Задачи с функции

[Гост]

Моля за малко помощ за две задачи относно линейни и квадратни функции:
1. Дадени са три линейни функции f(x)= 2-2x, g(x)= 2/3x+2, h(x)= 2x-2. Определете координатите на върховете на триъгълника, образуван от пресечните точки на графиките на тези функции. Намерете лицето на триъгълника, ако единичната отсечка има дължина 1 см.
2. Дадена е квадратна функция x²+4x-6.
a) Определете координатите на върха на графиката на функцията.
б) Определете пресечните точки на графиката ѝ с оста Ox.
в) Определете максималната и минималната стойност на функцията в интервала [-4,2].

[S.B.]

Без заглавие (58).png (173.89 KiB) Прегледано 312 пъти

Моля за малко помощ за две задачи относно линейни и квадратни функции:
1. Дадени са три линейни функции f(x)= 2-2x, g(x)= 2/3x+2, h(x)= 2x-2. Определете координатите на върховете на триъгълника, образуван от пресечните точки на графиките на тези функции. Намерете лицето на триъгълника, ако единичната отсечка има дължина 1 см.

[tex]f(x) \cap g(x) = т. A[/tex]
$2 - 2x = \frac{2}{3}x + 2 \Rightarrow x = 0 ,f(1) = g(1) = 2 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow т. A (0 ; 2)$
$f(x) \cap h(x) = т. B$
$2 - 2x = 2x - 2 \Rightarrow x = 1 ,f(1) = h(1) = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow т. B(1 ; 0)$
$g(x)\cap h(x) = т.C$
$\frac{2}{3}x + 2 = 2x - 2 \Rightarrow x = 3 ,g(3) = h(3) = 4 \Rightarrow y = 4,\Rightarrow т.C(3 ; 4)$
От чертежа :
От $ \triangle BC_{1 }C$ по Питагор $BC = 2\sqrt{5} $;
От $\triangle ACC_{2 }$ по Питагор $AC = \sqrt{13}$ ;
От $\triangle ABO $ по Питагор $AB = \sqrt{5}$ ( т. $O$ е началото на коорд.система)
За $\triangle ABC$ прилагам косинусова теорема:$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2.AB.AC.cos\alpha \Rightarrow cos\alpha = -\frac{\sqrt{65}}{65},sin\alpha = \frac{8\sqrt{65}}{65}$
$S_{ABC } = \frac{AC.AB}{2}.sin\alpha = \frac{\sqrt{13}.\sqrt{5}}{2}.\frac{8\sqrt{65}}{65} = 4$

[S.B.]

2. Дадена е квадратна функция x²+4x-6.
a) Определете координатите на върха на графиката на функцията.
б) Определете пресечните точки на графиката ѝ с оста Ox.
в) Определете максималната и минималната стойност на функцията в интервала [-4,2].

$f(x) = x^{2} + 4x - 6$
а)[tex]V (V_{x },V_{y })[/tex]
[tex]V_{x } = \frac{- b}{2a} = \frac{- 4}{2} = -2 ; V_{y } = \frac{- D}{4a} = \frac{- 40}{4} = - 10 \Rightarrow V( - 2 , - 10)[/tex]
б) [tex]x_{1,2 } = \frac{- 4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = - 2 \pm\sqrt{10} \Rightarrow X_{1 } = - 2 + \sqrt{10} , X_{2 } = - 2 - \sqrt{10}[/tex]
б)[tex]f'(x) = 2x + 4 = 2(x + 2)[/tex]
$f'(x)>0 \Leftrightarrow x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > - 2 \Rightarrow$ за $x \in (- 2 ; + \infty) $ функцията расте;$
$f'(x) < 0 \Leftrightarrow x + 2 , 0 \Leftrightarrow x < - 2 \Rightarrow$ за $x\in (-\infty;- 2) $ функцията намалява;$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \Rightarrow$ за $x = -2$ функцията притежава екстремум,
$ f''(x) = 2>0 \Rightarrow$ притежава минимум, $f_{min } = f(- 2) = 4 - 8 - 6 = - 10$
Тъй като $ - 2 \in [- 4,2] \Rightarrow $ най- малката стойност в този интервал е $f_{min } = f( - 2 ) = - 10$
За $x \in(-4 ;- 2)$ функцията намалява ,$f(- 4 ) = 16 -16 -6 = -6$ ;
За $x\in (- 2 ; 2)$ функцията расте ,$f(2) = 4 +8 - 6 = 6$
$f(-4) < f(2) \Rightarrow$ най- голямата стойност в интервала е $f(2) = 6$