Лице

[Гост]

В триъгълник ABC със [tex]AB=\sqrt{10}[/tex] точката O е центърът на вписаната окръжност, AO=2, [tex]BO=\sqrt{2}[/tex]. Да се намери лицето на [tex]ABC[/tex]

[Davids]

Знаем, че $\angle AOB = 90 + \frac{\angle ACB}{2}$.
По косинусова теорема можем да намерим $cos\angle AOB$.
Аналогично с две косинусови теореми намираме косинусите на половинките на $\angle A$ и $\angle B$, отатм намираш и косинусите на целите ъгли.
Вече знаеш всичко нужно за триъгълника и можеш да си правиш всякакви магии. Аз бих намерил още една страна по косинусова теорема и после лицето по формулата от две страни и синус на ъгъла между тях.

[Knowledge Greedy]

Центърът на вписаната окръжност е пресечната точка на ъглополовящите, значи с решаването на [tex]\triangle ABO[/tex] откриваме всички необходими елементи на [tex]\triangle ABC[/tex].
[tex]AO^2=AB^2+BO^2-2.AB.BO.cos\frac{\beta}{2}[/tex]
- оттук [tex]cos\frac{\beta}{2}=\frac{(\sqrt{10})^2+(\sqrt{2})^2-2^2}{2.\sqrt{10}.\sqrt{2}}[/tex]
(Защото [tex]BO[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle ABC)[/tex]

Чертеж 1.png (3.78 KiB) Прегледано 201 пъти

[tex]cos^2\frac{\beta}{2}=\frac{4}{5}[/tex]
и следователно
[tex]cos\beta = \frac{3}{5} \,\ \Rightarrow \,\ sin\beta = \frac{4}{5}[/tex]
Аналогично от същия триъгълник [tex]\triangle ABO[/tex]
(Защото [tex]AO[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BAC)[/tex]
[tex]BO^2=AB^2+AO^2-2.AB.AO.cos\frac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]cos\frac{\alpha}{2}=\frac{(\sqrt{10})+2^2-(\sqrt{2})^2}{2.\sqrt{10}.2}[/tex]
[tex]cos\frac{\alpha}{2}= \frac{3}{\sqrt{10}} \,\ \Rightarrow \,\ cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{9}{10}[/tex]
и следователно
[tex]sin \alpha = \frac{3}{5}[/tex]
Случайно или не, получихме, че въпросният [tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен, защото [tex]sin\alpha =cos\beta[/tex].
Катетите са [tex]AC=\frac{4\sqrt{10}}{5}[/tex] и [tex]BC=\frac{3\sqrt{10}}{5}[/tex], а лицето
[tex]S_{\triangle ABC}=\frac{24}{5}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (61).png (204.52 KiB) Прегледано 191 пъти

В триъгълник ABC със [tex]AB=\sqrt{10}[/tex] точката O е центърът на вписаната окръжност, AO=2, [tex]BO=\sqrt{2}[/tex]. Да се намери лицето на [tex]ABC[/tex]

Още един поглед върху задачата:
Ще докажем,че [tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен:
За $\triangle AOB$ прилагам косинусова теорема:
[tex]cos\gamma = \frac{AB^{2} - AO^{2} - BO^{2}}{- 2.AO.BO} \Leftrightarrow cos\gamma = \frac{10 -4 -2}{-2.2\sqrt{2}} \Rightarrow cos\gamma = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \gamma = 135^\circ[/tex]
За [tex]\triangle AOB :[/tex] $\alpha + \beta + 135^\circ = 180^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 45^\circ$
$O$ - център на вписаната окръжност $\Rightarrow AO, BO$ са ъглополовящи,$\angle A = 2\alpha, \angle B = 2\beta \Rightarrow \angle A + \angle B = 2\alpha + 2\beta = 90^\circ \Rightarrow \angle C = 90^\circ$
$S_{AOB } = \frac{AO.BO}{2}.sin135^\circ = \frac{2.\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ ,но $S_{AOB } = \frac{AB.OM}{2} = \frac{\sqrt{10}.r}{2} $
Тогава $\frac{\sqrt{10}}{2}.r = 1 \Rightarrow r = \frac{\sqrt{10}}{5}$
$S_{ABC } = p.r = (AB + r).r = (\sqrt{10} + \frac{\sqrt{10}}{5}).\frac{\sqrt{10}}{5} = \frac{10}{5}(1 + \frac{1}{5}) = 2.\frac{6}{5} = \frac{12}{5}$