Формули на Виет. Параметрични уравнения

[vasil359]

1. Определете броя на реалните корени и знаците им.
А) 2x^{2}-3x-2=0 Б) -2x^{2}+3x-2=0 В) 2x^{2}+5,45х+1,4=0
Г) 2x^{2}-12,45х+2,4=0 Д) 7x^{2}+2,45х-2,4=0
Е) \sqrt{2x^{2}}-3х+10\sqrt{2}=0

[KOPMOPAH]

С лека корекция на LaTex условието изглежда така

1. Определете броя на реалните корени и знаците им.
А) $2x^{2}-3x-2=0$ Б) $-2x^{2}+3x-2=0$ В) $2x^{2}+5,45x+1,4=0$
Г) $2x^{2}-12,45x+2,4=0$ Д) $7x^{2}+2,45x-2,4=0$
Е) $\sqrt{2}x^{2}-3x+10\sqrt{2}=0$

Припомняме си теорията, че броят на реалните корени на едно квадратно уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ се определя от знака на дискриминантата $$D=b^2-4ac$$Има три възможности:
$~~\circ~~D>0$, съответно уравнението има два различни реални корена;
$~~\circ~~D=0$, уравнението има има два равни реални корена (един двоен реален корен);
$~~\circ~~D<0$, уравнението НЯМА реални корени.

Знаците на корените се определят от формулите на Виет:$$x_1+x_2=-{b \over a},~~~~~~x_1.x_2={c \over a}$$

За А) $$D=(-3)^2-4.2.(-2)=9+16=25>0$$следователно уравнението има два различни реални корена.

След като произведението им $$x_1.x_2={c \over a}={-2 \over 2}=-1$$е отрицателно число, значи корените са с различни знаци.

За следващите задачи прилагаш същите съображение, като в случай на отрицателна дискриминанта не може да става дума за знаци, доколкото уравнението няма реални корени.

Когато произведението на корените е положително число, това означава, че те са с еднакви знаци. Дали са положителни или отрицателни числа можем да разберем от тяхната сума:$$x_1+x_2=-{b \over a}$$Да разгледаме В), имаме $$x_1.x_2={c \over a}={{1,4} \over 2}=0,7>0$$значи корените са с еднакви знаци. Разбира се, ПЪРВО сме проверили, че $D>0$. За да разберем дали са две положителни или две отрицателни числа, трябва да видим тяхната сума$$x_1+x_2=-{b \over a}=-{{5,45} \over 2}=-2,725<0,$$следователно двата корена са отрицателни, щом като сумата им е отрицателна.