Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Ъглополовящата $l_{c }$ в правоъгълния триъгълник [tex]ABC (\angle C = 90^\circ)[/tex] пресича хипотенузата $AB$ в т.$L$ и описаната около $ \triangle ABC$ окръжност в т. $M$. Да се намери лицето на $\triangle ABC$ ако $CL = 2 , LM = 3$

[S.B.]

Без заглавие (77).png (255.32 KiB) Прегледано 498 пъти

Ъглополовящата $l_{c }$ в правоъгълния триъгълник [tex]ABC (\angle C = 90^\circ)[/tex] пресича хипотенузата $AB$ в т.$L$ и описаната около $ \triangle ABC$ окръжност в т. $M$. Да се намери лицето на $\triangle ABC$ ако $CL = 2 , LM = 3$

Нека $AC = b , BC = a$
[tex]\angle AMC = \angle ABC = \frac{д.AC}{2}[/tex] , [tex]\angle ACM = \angle LCB = 45^\circ \Rightarrow \triangle AMC \approx \triangle LBC[/tex]
От подобността следват отношенията : $\frac{AC}{LC} = \frac{CM}{CB} \Leftrightarrow \frac{b}{2} = \frac{5}{a} \Leftrightarrow ab = 10$
$$S_{ABC } = \frac{ab}{2} = \frac{10}{2} \Rightarrow S_{ABC } = 5$$